Produit vectoriel (4)
Bac 2004 SSR
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct
(O;i→;j→;k→),
on considère les points A(1;2;-2); B(0;3;-3)
et C(1;1;-2) dans l'espace et le plan (P) d'équation: x+y-3=0.
1) (a) Calculer la distance du point Ω(0;1;-1) au plan (P)
(b) Déduire que l'équation cartésienne de la sphère (S)
de centre Ω et tangente au plan (P) est
x²+y²+z²-2y+2z=0
2) (a) Déterminer AB→∧AC→
et déduire que les points A; B et C ne sont pas alignés
(b) Montrer que x-z-3=0 est une équation cartésienne du plan (ABC)
3) (a) Vérifier que la sphère (S) est tangente au plan (ABC)
(b) Calculer la distance ΩC et déduire le point de la tangente de (S) et le plan (ABC)
Bac 2008 SSR
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct
(O;i→;j→;k→),
on considère le plan (P) d'équation:
x+2y+z-1=0
et la sphère d'équation
x²+y²+z²-4x-6y+2z+5=0
1) Montrer que le centre de la sphère (S) est le point
I(2;3;-1) et son rayopn est 3
2) (a) Montrer que la distance de I au plan (P) est √6.
(b) déduire que le plan (P) coupe la sphère selon un
cercle (C) de rayon √3
3) (a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D)
passant par I et orthogonale au plan (P)
(b) Montrer que le centre du cercle (C) est le
point H(1;1;-2)
Bac 2009
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct,
(O;i→;j→;k→),
on considère les points A(-2;2;8) ; B(6;6;0) ; C(2;-1;0) ; D(0;1;-1) et
(S) l'ensemble de points M qui vérifient,
MA→.MB→=0
1) Déterminer le triplet des coordonnées du vecteur
OC→∧OD→
et déduire que x+2y+2z=0 est l'équation du plan (OCD)
2) Vérifier que (S) est la sphère de centre Ω(2;4;4)
et de rayon 6
3) (a) Calculer la distance de Ω au plan (OCD)
(b) Déduire que le plan (OCD) est tangente à la sphère (S)
(c) Vérifier que OA→.OB→=0
puis déduire que le point O est le point tangente
de la sphère et le plan (OCD)
Bac 2009 SSR
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct
(O;i→;j→;k→),
on considère un point A(2;2;-1); un plan (P) 2x+y+2z-13=0 et une sphère
(S) de centre Ω(1;0;1) et de rayon 3
1) (a) Montrer que x²+y²+z²-2x-2z-7=0 est une équation
cartésienne de la sphère (S) et vérifier que A∈(S)
(b) Calculer la distance de Ω au plan (P)
(c) Déduire que (P) est tangente à (S)
2) Soit (D) la droite passant par A et orthogonale au plan (P)
(a) Montrer que u(2;12;2) est un vecteur normal de (D)
et ΩA→∧u→(6;-6;-3)
| (b) calculer: | ||ΩA→∧u→|| |
| ||u→|| |