Bac 2004 SSR

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 les points A(1;2;-2); B(0;3;-3) et C(1;1;-2) et le plan (P) d'équation: x+y-3=0.
1) (a) Calculer la distance du point Ω(0;1;-1) au plan (P).
(b) Déduire que l'équation cartésienne de la sphère (S) de centre Ω et tangente au plan (P) est
x²+y²+z²-2y+2z=0.

2) (a) Déterminer AB^→∧AC^→ et déduire que les points A; B et C ne sont pas alignés.
(b) Montrer que x-z-3=0 est une équation cartésienne du plan (ABC)
3) (a) Vérifier que la sphère (S) est tangente au plan (ABC).
(b) Calculer la distance ΩC et déduire le point de la tangente de (S) et le plan (ABC).