Bac 2013 SSR

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 les points A(0;0;1); B(1;1;1) et C(2;1;2) et une sphère (S) de centre Ω(1;-1;0) et de rayon √3.
1) Montrer que: x²+y²+z²-2x+2y-1=0 est une équation cartésienne de la sphère (S) et vérifier que A∈(S).

2) (a) Montrer que
AB^→∧AC^→ =i^→-j^→-k^→
et déduire que x-y-z+1=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).
(b) Calculer d(Ω;(ABC)) puis déduire que le plan (ABC) est tangente à (S) en A.

3) (a) Montrer que le système d'équations ci-dessous est une repésentation paramétrique de la droite (D)

{	x=1+t	(t∈IR)
	y=-1-t
	z=-t

(b) Déduire les triplets des coordonnées des deux points d'intérsections de (D) et (S).

Bac 2017

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 les points A(0;0;-2); B(1;-2;-4) et C(-3;-1;2).
1) (a) Montrer que
AB^→∧AC^→ =2i^→+2j^→+k^→
(b) Déduire que 2x+2t+z+3=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).

2) Soit (S) la sphère d'équation x²+y²+z²-2x-2z-23=0.
Vérifier que la sphère (S) est de centre Ω(1;0;1) et de rayon R=5.
3) (b) Vérifier que le système

{	x=1+2t	(t∈IR)
	y=2t
	z=1+t

est une repésentation paramétrique de la droite (D) passant par Ω et orthogonale au plan (ABC).

(b) Déterminer le triplet de coordonnées du point H intérsections de (D) et le plan (ABC).
4) Vérifier que d(Ω;(ABC))=3
puis démontrer que le plan (ABC) coupe la sphère selon un cercle de rayon 4 dont il faut déterminer le centre.