Bac 2018

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 un plan (P) passant par le point A(0;1;1) et de vecteur normal u^→(1;0;-1) et une sphère (S) de centre Ω(0;1;-1) et de rayon √2.
1) (a) Montrer que x-z+1=0 est une équation cartésienne du plan (P).
(b) Montrer que le plan (P) est tangente à la sphère (S).

Et vérifier que le point B(-1;1;0) est le point de rencontre.
2) (a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par le point A et orthogonale au plan (P).
(b) Montrer que la droite (D) est tangente à la sphère (S) au point C(1;1;0).
3) Montrer que OC^→∧OB^→ =2k^→ et déduire la surface du triangle OBC.

Bac 2019

L'espace 𝔼 est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→;k^→).
On considère dans 𝔼 les points A(1;-1;-1); B(0;-2;1) et C(;-2;0).
1) (a) Montrer que
AB^→∧AC^→ =i^→+j^→+k^→.
(b) En déduire que x+y+z+1=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).

2) Soit (S) la sphère d'équation
x²+y²+z²-4x+2y-2z+1=0.
Montrer que le centre de la sphère (S) est Ω(1;0;1) et que son rayon R=√(5).
3) (a) Calculer d(Ω;(ABC)).
(b) En déduire que le plan (ABC) coupe la sphère (S) selon un cercle (γ) (le centre et le rayon de (γ) ne sont pas demandés).