3- رتابة متتالية

3.1 المتتالية التزايدية

3.1.1 مثال :

لتكن (u_n) متتالية عددية معرفة كما يلي u_n= 2n+1; n∈IN
1) احسب u₀ ; u₁ و u₂
2) ادرس اشارة u_n+1-u_n

تصحيح

1) لدينا : u₀=2.0+1=1 اذن u₀=1
u₁=2.1+1=3 اذن u₁=3
u₂=2.2+1=5 اذن u₂=5
2) اشارة u_n+1-u_n
لدينا u_n=2n+1
و u_n+1=2(n+1)+1=2n+3,
اذن u_n+1-u_n=2n+3-(2n+1)=2>0 نقول اذن ان المتتالية(u_n) تزايدية

3.1.2 خاصية

لتكن (u_n)_n≥p متتالية عددية :
(u_n)_n≥p تزايدية ⇔ ∀n≥p: u_n+1 -u_n≥0

3.2 المتتالية التناقصية

3.2.1 مثال:

لتكن (u_n) متتالية عددية معرفة كما يلي u_n= -2n+1; n∈IN
1) احسب u₀ ; u₁ et u₂
2) ادرس اشارة u_n+1-u_n

تصحيح

1) لدينا : u₀=-2.0+1=1 اذن u₀=1
u₁=-2.1+1=-1 اذن u₁=-1
u₂=-2.2+1=-3 اذن u₂=-3

2) اشارة u_n+1-u_n
لدينا u_n=-2n+1
و u_n+1=-2(n+1)+1=-2n-1,
اذن u_n+1-u_n=-2n-1-(-2n+1)=-2< 0 نقول اذن ان المتتالية (u_n) تناقصية

3.2.2 خاصية

لتكن (u_n)_n≥p متتالية عددية
(u_n)_n≥p تناقصية ⇔ ∀n≥p: u_n+1-u_n ≥0

3.2.3 خاصيات:

1) (u_n)_n≥p تزايدية قطعا ⇔ ∀n≥p: u_n+1 > u_n
2) (u_n)_n≥p تناقصية قطعا ⇔ ∀n≥p: u_n+1 < u_n
3) (u_n)_n≥p تابثة ⇔ ∀n≥p: u_n+1 = u_n

3.2.4 تعريف

نقول ان متتالية رتيبة اذا كانت اما تناقسية واما تزايدية
ونقول ان متتالية رتيبة قطعا اذا كانت اما تناقصية قطعا واما تزايدية قطعا

تمرين 1

ادرس رتابة المتتالية (u_n):

un=	n+1
	n+2

تمرين 2

ادرس رتابة المتتالية (u_n):
u_n= 3- n + 2ⁿ

2- المتتاليات الحسابية

2.1 انشطة

2.1.1 مثال 1

اتمم الجدول التالي

1	5	9	..	..	21	..

2.1.2 مثال 2

اتمم الجدول التالي

..

30

..

20

15

..

..

2.2 تعريف

I⊂IN و (u_n)_n∈I
متتالية عددية
نقول ان هذه المتتالية هي متتالية حسابية اذا كانت تكتب على الشكل
u_n+1=u_n+r, n∈I
العدد r يسمى اساسا لها

مثال 1

حدود المتتالية في المثال الاول هي حدود متتالية حسابية اساسها r=4

مثال 2

2) حدود المتتالية في المثال الثاني هي حدود متتالية حسابية اساسها r=-5

تمرين 1

احسب الحد الثاني والثالث والخامس لمتتالية حسابية اساسها 3 وحدها الاول 2

تصحيح

نرمز للمتتالية ب (u_n)_n≥0
1)الحد الثاني
بما ان المتتالية معرفة من اجل n≥0 فان الحد الاول هو u₀=2
نعلم ان u_n+1=u_n+r
اذن الحد الثاني هو u₁=u₀+r
اي u₁=2+3=5,
اذن u₁=5
2) الحد الثالث u₂
u₂=u₁+r او u₂=5+3=8
اذن u₂=8

3) الحد الخامس :u₄
لدينا u₄=u₃+r لكن ليس لدينا , u₃, اذن نحدده !
u₃=u₂+r او u₃=8+2=10, اذن u₄=10+2=12
وبالتالي الحد الخامس هو u₄=12.

تمرين 2:

احسب اساس متتالية حسابية حدها الاول 4 وحدها الثاني هو 10

تصحيح

نعين ب u₁ للحد الاول لدينا اذن u₁=4 و الحد الثاني هو u₂=10
ونعلم ان u₂=u₁+r
اي 10=4+r, ومنه فان r=10-4=6
وبالتالي اساس المتتالية هو r=6

2.3 الحد العام لمتتالية حسابية

2.3.1 تقديم

لتكن (u_n) متتالية حسابية اساسها r و u₀ حدها الاول
اذن u_n+1=u_n+r, ومنه فان

u1=u0+r
u2=u1+r
u3=u2+r
...
un-1=un-2+r
un=un-1+r

نجمع طرفي المتساويات طرفا طرفا وبعد الاختزال نحصل على النتيجة التالية
u_n=u₀+nr ويمكن ان نبرهن عليها بالترجع

2.3.2 خاصية

لتكن (u_n) متتالية حسابية حدها الاول u₀ واساسها r
الحد العام للمتتالية (u_n) معرف كما يلي u_n=u₀+nr

ملاحظة

اذا كان u₁ هو الحد الاول فان u_n=u₁+(n-1)r