تمرين

لتكن (u_n) متتالية حسابية حدها الاول u₀=7 واساسها 4
احسب u₂₀₂₁

تصحيح

(u_n) هي متتالية حسابية اذن
u_n=u₀+nr
اي u₂₀₂₁=7+2021.4=4091
اذن u₂₀₂₁=4091

2.3.3 خاصية

لتكن (u_n)_n≥p متتالية حسابية اساسها r
u_n = u_p+(n-p)r

تمرين

لتكن (u_n) متتالية حسابية بحيث u₂₅=1000 و u₃₀=1250
احسب اساس هذه المتتالية

تصحيح

نعلم ان u_n=u_p+(n-p)r

اذن u₃₀= u₂₅+(30-25)r
= u₂₅+5r
1250=1000+5r ⇔ 5r=1250-1000
⇔ 5r=250
اذن r=50

2.4 مجموع n حد اولى من متتالية حسابية

2.4.1 تقديم

(u_n)_n≥1 متتالية حسابية
S= u₁+u₂+...+u_n
S= u_n+u_n-1+...+u₁
تحقق ان u₁+u_n= u₂+u_n-1= .. =u_n+u₁
n هو عدد الحدود
اذن 2S = n(u₁+u_n) ومنه فان

S=	n	(u1+un)
	2

وبتعبير آخر

S=	عدد الحدود	(الحد الاول + الحد الاخير)
	2

2.4.2 خاصية

(u_n)_n≥p متتالية حسابية
و S= u_p+u_p+1+..+u_n
n-p+1 عدد الحدود
لدينا اذن

S=	n-p+1	(up+un)
	2

مثال

(u_n)_n≥2 متتالية حسابية اساسها 5 و u₂=3
احسب S=u₂+u₃+..+u₂₁

تصحيح

1) عدد الحدود هو 21-2+1=20 حد متتابع
2) نحسب u₂₁:
u_n=u_p+(n-p).r اذن
u₂₁=u₂+(21-2).r
=3+19.5=3+95=98
ومنه فان u₂₁=98
3) نطبق الخاصية السابقة

S=	20	(u2+u21)
	2

=10(3+98)=1010.
S=1010.

3- المتتاليات الهندسية

3.1 انشطة

مثال

اتمم الجدول

2

4

8

..

32

..

..

3.2 تعريف

(u_n)_n∈I متتالية هندسية اساسها q اذا كانت تكتب على الشكل u_n+1=qu_n, n∈I وحدها الاول عددا حقيقيا , a

مثال

حدود المتتالية السابقة هي حدود لمتتالية هندسية اساسها q=2

تمرين 1

احسب الحد الثاني والثالث لمتتالية هندسية اساسها 3 وحدها الاول 4

تصحيح

نرمز مثلا للحد الاول ب u₀
(يمكنكم اعتبار u₁ كحد اول )

1) u₀=4 نحسب u₁
نعلم ان u_n+1=qu_n
اذن u₁=qu₀
اي u₁=3.4
ومنه فان u₁=12
2) الحد الثالث u₂
u₂=qu₁ اي u₂=3.12=36
ومنه فان u₂=36
3) الحد الخامس :u₄
u₄=qu₃ ولكن ليس لدينا u₃, نعرفه اذن
u₃=qu₂ اي u₃=3.36=108, اذن u₄=3.108=324
وبالتالي الحد الخامس هو u₄=324.

تمرين 2:

احسب اساس متتالية هندسية حدها الاول 4 وحده الثاني 20

تصحيح

نرمز هده المرة مثلا للحد الاول ب u₁
لدينا اذن u₁=4 والحد الثاني u₂=20
نعلم ان u₂=qu₁ 20=4q, اذن q=5

3.3 الحد العام لمتتالية هندسية

3.3.1 تقديم

(u_n)_n≥0 متتالية هندسية اساسها q وحدها الاول u₀
اذن u_n+1 =qu_n ومنه فان

u1=qu0
u2=qu1
u3=qu2
...
un-1=qun-2
un=qun-1

هذه المرة نضرب طرفي المتساويات طرفا طرف وبعد الاختزال نحصل على النتيجة التالية u_n=u₀qⁿ

3.3.2 خاصية

(u_n) متتالية هندسية حدها الاول u₀ واساسها q
الحد العام للمتتالية (u_n): u_n=u₀qⁿ

ملاحظة

اذا كان u₁ هو الحد الاول فان u_n=u₁q^n-1

3.3.3 خاصية

(u_n)_n≥p متتالية حسابية اساسها q,
u_n= u_pq^n-p

تمرين

(u_n) متتالية هندسية حدها الاول u₀=7 واساسها 2
احسب u₅

تصحيح

(u_n) متتالية هندسية اذن u_n=u₀qⁿ
اذن u₅=7.2⁵=224 ومنه فان u₅=224.