3.4 مجموع n حد اولى من متتالية هندسية

3.4.1 تقديم

(u_n)_n≥0 متتالية هندسية اساسها q
S= u₀+u₁+ .. +u_n-1
نلاحظ ان , مدل الاول هو 0 اذن المدل الاخير هو n-1
اذا كان q=1 فان S=nu₀
اذا كان q≠1 فان :
S=u₀+u₀q+..+u₀q^n-1
او
S= u₀(1+q+q²+..+q^n-1)
اذن

S = u0	1-qn
	1-q

n=(n-1)-0+1 عدد الحدود

3.4.2 خاصية

(u_n)_n≥p متتالية هندسية اساسها q≠1 و
S= u_p+u_p+1+ .. +u_n

S=up	1-qn-p+1
	1-q

n-p+1 عدد الحدود

مثال

(u_n) متتالية هندسية اساسها q=2 و u₀=5:
احسب S= u₀+u₁+ .. +u_n-1 بدلالة n.

تصحيح

تطبيق مباشر لخاصية الجمع

S = u0	1-qn	= 5	1-2n
	1-q		1-2

S=-5(1-2ⁿ)

4- متتاليات تؤول الى متتاليات حسابية او هندسية

تمرين 1

(u_n)_n∈IN متتالية عددية
u_n+1=2u_n+1, n∈IN وحدها الاول هو u_{0=3
نعتبر متتالية (vn)n∈IN معرفة كما يلي
vn=un+1
1) احسب v0.
2) بين ان (vn) متتالية هندسية يجب تحديد اساسها
3) حدد vn بدلالة n
4) استنتج un بدلالة n .}

تصحيح

1) لدينا v_n=u_n+1
اذن v₀=u₀+1=3+1=4

2) نبين ان (v_n) متتالية هندسية من اجل ذلك نحسب v_n+1
لدينا v_n=u_n+1 اذن v_n+1=u_n+1+1
ie v_n+1=(2u_n+1)+1=2(u_n+1)
وبما ان u_n+1=v_n فان v_n+1=2v_n وهذا يعني ان (v_n) متتالية هندسية اساسها q=2 وحدها الاول v₀=4
3) نحدد v_n بدلالة n:
بما ان (v_n) متتالية هندسية فان
v_n=v₀qⁿ, ومنه فان v_n=4.2ⁿ
4) بما ان v_n=u_n+1 فان u_n=v_n-1
اذن u_n=4.2ⁿ -1

تمرين 2:

(u_n)n≥1 متتالية معرفة كما يلي
u_n+1=-3u_n+4 وحدها الاول هو u₁=3
نعتبر المتتالية (v_n) المعرفة كما يلي
v_n=u_n-1
1) احسب v₁.
2) بين ان المتتالية (v_n) هي متتالية هندسية يجب تحديد اساسها
3) حدد v_n بدلالة n
4) حدد u_n بدلالة n

تصحيح

1) نحسب v₁ v₁=u₁-1=3-1=2
2) نبين ان (v_n) هي متتالية هندسية من اجل ذلك نحسب v_n+1
v_n+1=u_n+1-1=-3u_n+4-1
= -3u_n+3=-3(u_n-1)=-3v_n
اذن (v_n)n≥1 متتالية هندسية اساسها (3-)
3) نحدد v_n بدلالة n

بما ان (u_n)n≥1 متتالية هندسية فان
v_n=v₁.(-3)^n-1
اذن v_n=2.(-3)^n-1
4) نحدد u_n بدلالة n
بما ان v_n= u_n-1 فان u_n=v_n+1
اذن u_n= 2.(-3)^n-1 +1

تمرين 3:

(u_n) متتالية هندسية اساسها 8 وحدها الاول u₀=1
نعتبر المتتالية (v_n) المعرفة كما يلي

vn=	1	un +2
	4

1) احسب v₀.
2) بين ان المتتالية (v_n) هي متتالية حسابية يجب تحديد اساسها
3) حدد v_n بدلالة n
4) حدد u_n بدلالة n

تصحيح

1) نحسب v₀

v0=	1	u0 +2	=	1	1 +2
	4			4
⇒ v0=	9
	4

2) نبين ان المتتالية (v_n) هي متتالية حسابية اذن نحسب v_n+1

vn+1=	1	un+1 +2
	4
=	1	(un+8) +2
	4

او

vn+1=	1	un+2 +2
	4
=[	1	un+2]+2
	4

اذن v_n+1=v_n+2 وهذا يعني ان (v_n) متتالية حسابية اساسها 2.
3) نحسب v_n بدلالة n:
بما ان (v_n) هي متتالية حسابية فان : v_n=v₀+2n اي

vn=	9	+2n
	4

4) نحدد u_n بدلالة n:
بما ان (u_n) متتالية حسابية اساسها 8 فان
u_n=u₀+8n اذن u_n=1+8n .