Exercie 1 tp
Soit (un)n≥0 une suite numérique définie par
| un+1 = √( |
un+3 | ) (n∈N) |
| 2 |
| u0 = 1 |
1) Calculer u1.
2) Montrer par récurrence que
(∀n∈IN): 1≤un≤1,5.
Correction
| u1 = √( |
u0+3 |
) = √( |
1+3 | ) |
| 2 | 2 |
donc u1=√(2).
2) On montre par récurrence la propriété
P(n) (∀n ∈IN): 1≤un≤1,5.
pour n=0 on a u0=1 et 1≤1≤1,5
donc p(n) est vraie pour n=0.
On suppose que P(n) est vraie pour n
on a donc 1≤un≤1,5
⇔ 4≤un+3≤4,5
| ⇔ √(2) ≤ √( |
un+3 | ) ≤√( | 9 | ) |
| 2 | 4 |
| ⇔ √(2) ≤ √( |
un+3 |
) ≤ |
3 |
| 2 | 2 |
| ⇔ √(2) ≤ √( |
un+3 |
) ≤ |
1,5 |
| 2 |
or √(2)>1 donc 1≤√(2)≤un+1≤1,5
et cela signifie que P(n) est vraie pour n+1
donc P(n) est vraie pour tout n∈IN
(∀n∈IN): 1≤un≤1,5
ainsi la suite (un) est bornée.