3- Monotonie d’une suite

3.1 Suite croissante

3.1.1 Exemple

Soit (u_n) une suite numérique définie par
u_n= 2n+1 tel que n∈IN.
1) Calculer u₀ ; u₁ et u₂.
2) Etudier le signe de u_n+1-u_n.

Correction
1) On a u₀=2.0+1=1 donc u₀=1.
On a u₁=2.1+1=3 donc u₁=3.

On a u₂=2.2+1=5 donc u₂=5.
2) Signe de u_n+1-u_n.
On a u_n=2n+1
et u_n+1=2(n+1)+1=2n+3
donc u_n+1-u_n=2n+3-(2n+1)=2
ainsi u_n+1-u_n>0 on dit alors que la suite (u_n) est croissante.

3.1.2 Propriété

Soit (u_n)_n≥p une suite numérique
(u_n)_n≥p est croissante ⇔ (∀n≥p): u_n+1-u_n≥0.

3.2 Suite décroissante

3.2.1 Exemple

Soit (u_n) une suite numérique définie par
u_n= -2n+1 avec n∈IN.
1) Calculer u₀ ; u₁ et u₂.
2) Etudier le signe de u_n+1-u_n.

Correction
1) On a u₀=-2.0+1=1 donc u₀=1.
On a u₁=-2.1+1=-1 donc u₁=-1.
On a u₂=-2.2+1=-3 donc u₂=-3.

2) Signe de u_n+1-u_n
on a u_n=-2n+1
et u_n+1=-2(n+1)+1=-2n-1
donc u_n+1-u_n=-2n-1-(-2n+1)=-2
ainsi u_n+1-u_n<0 on dit alors que la suite (u_n) est décroissante.

3.2.2 Propriété

Soit (u_n)_n≥p une suite numérique.
(u_n)_n≥p est décroissante
⇔ (∀n≥p): u_n+1-u_n≥0.

3.3 Propriétés et définition

3.3.1 Propriétés

Soit (u_n)_n≥p une suite numérique.
1) (u_n)_n≥p est strictement croissante
⇔ (∀n≥p): u_n+1>u_n.
2) (u_n)_n≥p est strictement décroissante
⇔ (∀n≥p): u_n+1 < u_n.
3) (u_n)_n≥p est constante
⇔ (∀n≥p): u_n+1 = u_n.

3.3.2 Définitions

1) On dit qu'une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.
2) On dit qu'une suite est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Exercice 1 tp

Soit (u_n) une suite définie par

Etudier la monotonie de la suite (u_n).

Exercice 2 tp

Soit (u_n) une suite numérique définie par
u_n= 3- n + 2ⁿ.
Etudier la monotonie de la suite (u_n).

Correction

Soit n∈IN
u_n= 3- n + 2ⁿ
et u_n+1= 3- (n+1) + 2ⁿ⁺¹=2-n + 2ⁿ⁺¹.

Donc
u_n+1 - u_n=2-n + 2ⁿ⁺¹ -(3 - n + 2ⁿ)
= -1 + 2ⁿ⁺¹ - 2ⁿ = -1 + 2×2ⁿ - 2ⁿ
= -1 + 2ⁿ.
On a (∀n∈IN): 2ⁿ≥1
donc -1 + 2ⁿ≥0
et donc (∀n∈IN*): u_n+1 - u_n>0
ainsi la suite (u_n) est strictement croissante.