1.2 Nombres premiers

1.2.1 Définitions

1) Soit a∈ℤ. On dit que a est un nombre premier s'il admet exactement quatre diviseurs distincts -1 ; 1 ; a et -a.
2) Soit a∈IN. On dit que a est un nombre premier s'il admet exactement deux diviseurs distincts 1 et a.

Exemple 1) Les diviseurs de -7 sont -1; -7; 1 et 7 donc il admet exactement quatre diviseurs distincts ainsi -7 est un nombre premier.

2) Initialement 7 est un nombre premier.

Remarques
1) |a| est premier ⇔ a est premier.
2) -1 ; 0; et 1 ne sont pas des nombres premiers.
3) (∀a∈ℤ): -1|a et -a|a.

1.2.2 Propriété

Tout entier n≥2 admet au moins un diviseur premier.

Démonstration
Soient n un entier non premier > 1 et D l'ensemble des diviseurs premiers de n.

D≠∅ (car n n'est pas premier) et D⊂IN* donc D admet un minimum, noté p avec 1<p<n et p|n.
Supposons que p n'est pas premier
donc (∃q∈IN*): q|p avec 1<q<p
puisque p|n alors q|n et ce n'est pas possible donc p est premier.

1.2.3 Ensemble des nombres premiers

Théorème
L'ensemble des nombres premiers est un ensemble infini.

Démonstration
On suppose que l'ensemble des nombres premiers IP={p₁ ; p₂ ;..; p_n} est fini.
Soit N=1+p₁xp₂x .. xp_n
N≥3≥2 donc N admet au moins un diviseur premier noté p.
p|N et p|p₁xp₂x .. xp_n
Donc p|(N-p₁xp₂x...xp_n)
ou encore p|1 et cela contraste avec le fait que p premier
ainsi IP est infini.

1.3 Nombres premiers entre eux

1.3.1 Définition 1

Soit (a;b)∈ℤ².
On dit que a et b sont premiers entre eux si le seul diviseur entre eux est le nombre 1 et on écrit a∧b=1.

Exemple
15 et 14 sont deux nombres premier entre eux
15∧14=1
En effet les divseurs de 15 sont 1 ; 3 ; 5 et 15.

Les diviseurs de 14 sont 1 ; 2 ; 7 et 14.
ainsi le seul diviseur entre eux est 1.

Remarque
a∧b=1 ne veut pas dire que a ou b sont premiers.
Exemple 14∧15=1

1.3.2 Définition 2

Soit (a;b;c)∈ℤ³. a; b et c sont premiers entre eux si a∧b∧c=1.

Exemple
8 ; 10 et 15 sont premiers entre eux
8∧10∧15=1
En effet les diviseurs positifs de 8 sont 1; 2; 4 et 8.
Les diviseurs positifs de 10 sont 1 ; 2 ; 5 et 10.
Les diviseurs positifs de 15 sont 1 ; 3 ; 5 et 15.
ainsi le seul diviseur positifs entre 8 ; 10 et 15 est 1.

1.3.3 Définition 3

a ; b et c sont deux à deux premiers entre eux si a∧b=1 ; a∧c=1 et b∧c=1.
En général les entiers a_i avec i∈IN sont deux à deux premiers entre eux si a_i∧a_j=1 avec a_i≠a_j.
Exemple: 4 ; 9 ; 35 ; 143 sont deux à deux premiers entre eux.