2- Théorème de Bézout et théorème de Gauss

2.1 Théorème de Bézout

3.1.1 Egalité de Bézout

Théorème
Soit (a;b)∈ℤ² avec a.b≠0.
a∧b=d ⇒ ∃(u;v)∈ℤ²/ au+bv=d.

3.1.2 Théorème de Bézout

Soit (a;b)∈ℤ².
a∧b=1 ⇔ (∃(u;v)∈ℤ²): au+bv=1.

Démonstration
1) Si a∧b=1 d'après l'égalité de Bézout( ∃(u;v)∈ℤ²): au+bv=1.
2) Réciproquement (∃(u;v)∈ℤ²) tel que au+bv=1.
On pose d=a∧b donc d|a et d|b ainsi d|au+bv.
Puisque au+bv=1 et d|1 alors d=1 ainsi a∧b=1.

Exemple 1
Montrer (∃(u;v)∈ℤ²) tel que 10u+15v=5.

Correction
On pose a=10=2.5 et b=15=3.5.
10 et 15 sont non tous nuls et 10∧15=5
donc d'après l'égalité de Bézout
(∃(u;v)∈ℤ²) tel que 10u+15v=5.

Exemple 2
Soit (a;b)∈ℤ² /25a-18b=1
Montrer que a∧b=1.

Correction
25∧(-18)=1
d'après le théorème de Bézout a∧b=1.

2.2 Théorème de Gauss

2.2.1 Lemme de Gauss

Soient (a;b)∈ℤ*² et c∈ℤ
(a|bc et a∧b = 1) ⇒ a|c.

Démonstration
1) a|bc ⇔ (∃k∈ℤ) tel que bc=ka
2) a∧b = 1 d'après le théorème de Bézout
(∃(u;v)∈ℤ²) tel que au+bv=1
Ou encore cau+cbv=c ou encore acu+kav=c ou encore a(cu+kv)=c
et puisque cu+kv∈ℤ alors a|c.

Exemple
10|180 et 180=20.9.
On a 10∧9=1 donc 10|20.

2.2.2. Corollaire du théorème de Gauss

Soient a un entier ; p et q deux entiers positifs tels que p∧q=1.
(a≡0[p] et a≡0[q]) ⇒ a≡0[pq]

Démonstration
a≡0[p] ⇔ p|a
de même a ≡0[q] ⇔ q|a
puisque p∧q 1 alors pq|a ainsi a≡0[pq].

2.3 Lemme d'Euclide

Soient p un nombre premier et (a;b)∈ℤ².
p|a.b ⇒ p|a ou p|b ou les deux.

Exemple
3|30 et 3 est un nombre premier.
On a 30 = 15x2 donc 3|15.

2.4 Propriétés

2.4.1 Propriété 1

Soient (a;b)∈ℤ² et (d;m)∈ℤ².
(d|a∧b) ⇔ (d|a et d|b).
(a|m et b|m) ⇔ (a∨b|m).

2.4.2 Propriété 2

Soient (a;b)∈ℤ*² et k∈IN*.
ka∧kb=k(a∧b) et ka∨kb=k(a∨b).

2.4.3 Propriété 3

Soient (a;b)∈ℤ² et d∈IN*
tel que a=du et b=dv.
(d=a∧b) ⇔ (u∧v=1).

Exemple
a=105 et b=28
105=7.15 et 28=7.4.
(15∧4=1) donc 105∧28=7(15∧4)=7.