4.2 Théorème

Soient x et y deux entiers naturels tels que
x= a₁^p₁.a₂^p₂....a_m^p_m
et y= a₁^q₁.a₂^q₂....a_m^q_m
les a_i sont des nombres premiers deux à deux distincts et les p_i et q_i avec 1≤i≤m sont des entiers naturels.

1) pgcd(x;y) =
a₁^{inf(p₁;q₁)} x a₂^{inf(p₂;q₂)} x...x a_m^inf(p_m;q_m).
2) ppcm(x;y) =
a₁^{sup(p₁;q₁)} x a₂^{sup(p₂;q₂)} x...x a_m^sup(p_m;q_m).

Notation
On peut écrire autrement x et y

Remarque
x et y n'ont pas forcement le même nombre de facteurs premiers.
Les facteurs manquants a_k de l'un ou l'autre sont remplacés par a°_k=1.

Exemple 1
Soient x=3510 et y=1575 deux entiers.
1) Déterminer x∧y et x∨y.
2) Vérifier que x.y=(x∧y).(x∨y).

Correction

14742 = 2 x 3⁴ x 7 x 13
22950 = 2 x 3³ x 5² x 17
ou encore
14742 = 2¹ x 3⁴ x 5° x 7 ¹ x 11° x 13¹ x 17°
9450 = 2¹ x 3³ x 5² x 7° x 11° x 13° x 17¹
alors
x∧y=2^inf(1;1).3^inf(4;3).5^inf(0;2). 7^inf(1;0).11^inf(0;0).13^inf(1;0).17^inf(0;1)
=2¹.3³.5⁰.7⁰.11⁰.13⁰.17⁰=1.27.1.1.1.1
ainsi x∧y = 27.

x∨y=2^sup(1;1).3^sup(4;3).5^sup(0;2). 7^sup(1;0).11^sup(0;0).13^sup(1;0).17^sup(0;1)
=2¹.3⁴.5².7⁰.11⁰.13¹.17^sup1= 2.81.25.1.13.17
ainsi x ∨ y = 4475250.
2) x.y= 54.4475250 = 348279750.
autrement x.y= 14742.1575 = 5528250 on trouve le même résultat :)

Exemple 2
Soient x=4914 et y=525 deux entiers.
1) Déterminer x∧y et x∨y.
2) Vérifier que x.y=(x∧y).(x∨y).

Correction
1) 4914=2.3³.7.13 et 525=3.5².7
donc x∧y=3.7=21
et x∨y=2.3³.5².7.13=122850.
2) x.y=4914.525=2579850
et 21.122850=2579850
ainsi x.y=(x∧y).(x∨y).