3- Résolution dans Z² l’équation (diophantienne): ax+by=c

3.1 Théorème

Soient a;b et c∈ℤ et a∧b=d
si d|c alors l'équation ax+by=c admet au moins une solution dans ℤ².

Exemple
1) Montrer que (-7;14) est une solution particulière de l'équation (E): 5x+3y=7.

2) Déterminer l'ensemble de solutions de (E).

Correction
1) 5∧3=1 et 1|7
d'après le théorème (3.1) l'équation (E) admet au moins une solution dans ℤ².
On cherche une solution particulière (p;q) en utilisant l'algorithme d'Euclide.
5=1.3+2
3=1.2+1
donc 1=3-1.2=3-1.(5-1.3)=-5+2.3

Ou encore 5.(-1)+3.2=1
ou encore 5.(-7)+3.14=7
et donc (-7;14) est une solution particulière de l'équation (E).

On soustrait membre à membre les deux égalités
on obtient 5(x+7)+3(y-14)=0
ou encore 3(y-14)=-5(x+7)
et puisque 3∧5=1 alors 3|(x+7).

Ou encore x+7=3k tel que k∈Z
ou encore x=-7+3k tel que k∈Z.
Puisque 5x+3y=7
alors 5(-7+3k)+3y=7
ou encore 3y=7+35-15k
ou encore 3y=42-15k
donc y=14-5k
ainsi S={(-7+3k ; 14-5k) tel que k∈ℤ}.
Notons qu'on trouve le même résultat si on a utilisé 5|y-14.

4- Théorème fondamental de l’arithmétique

4.1 Théorème

Soit n un nombre entier ≥2.
Il existe p₁ ; p₂ ; ...; p_m des entiers premiers deux à deux distincts et uniques
et des entiers naturels non nuls
a₁ ; a₂ ; ...; a_m
tels que n=a₁^p₁.a₂^p₂....a_m^p_m.

Remarque
Il suffit de multiplier par -1 si n est un entier négative.
Si n∈ℤ-{-1;0;1} alors n=±a₁^p₁.a₂^p₂....a_m^p_m
cette écriture est appelée décomposition primaire de n.

Exemple 1
Décomposer 14300 et 8750 en facteurs premiers.

Correction

14300 = 2² x 5² x 11 x 13.
8750 = 2 x 5⁴ x 7.

Exemple 2
73500=2².3.5³.7².
17550=2.3³.5².13.

Exemple 3
Décompositions de 140 et de 945.
1) 140=2²x5x7.
2) 945=3³x5x7.