5.2 L’ensemble ℤ/nℤ avec n∈IN*

5.2.1 Définitions

Définition 1
Soit n ∈IN*.
L'ensemble des entiers relatifs qui ont le même reste r dans la division euclidienne par n est appelée classe d'équivalence pour la congruence modulo n dans ℤ et est notée r={x∈ℤ/ x ≡ r[n]}.

Définition 2
L'ensemble des classes d'équivalences pour la congruence modulo n dans ℤ, est noté ℤ/nℤ
ℤ/nℤ = {0 ; 1 ; 2 ; ... ; n-1} ; n ≥ 2
et de plus ℤ = 0 ∪ 1 ∪ 2 ∪ ... ∪ n-1 avec n≥2.

Exemple 1
Soit n=3.
L'ensemble des classes d'équivalences pour la congruence modulo 3 dans ℤ
ℤ/3ℤ={0 ; 1 ; 2}
1 = {x∈ℤ/ x≡1[3]}.

Exemple 2
Soit n=5
L'ensemble des classes d'équivalences pour la congruence modulo 5 dans ℤ
ℤ/5ℤ={0 ; 1 ; 2; 3; 4}
2 = {x∈ℤ/ x≡2[5]}
4 = {x∈ℤ/ x≡4[5]}
5 = {x∈ℤ/ x≡0[5]}.

Exercice 1 tp

1) Vérifier que dans ℤ/3ℤ que
(a) 10 = 1.
(b) -17 = -40.
2) Vérifier que dans ℤ/7ℤ que
1) 30 = 2.
2) 2022 = 293.

5.2.2 Opérations dans ℤ/nℤ et ses propriétés

Compatibilité de la congruence dans ℤ avec la somme
Soient n∈IN* ; (x;y)∈ℤ² et (u;v)∈ℤ².
(x≡y[n] et u≡v[n]) ⇒ (x+u ≡ y+v[n]).
(x≡y[n] et u≡v[n]) ⇒ (x-u ≡ y-v[n]).
x≡y[n] ⇔ (x+u ≡ y+u[n]).

Compatibilité de la congruence dans ℤ avec le produit
Soient n∈IN* ; (x;y)∈ℤ² et (u;v)∈ℤ².
(x≡y[n] et u≡v[n]) ⇒ x.u≡y.v[n].

x≡y[n] ⇒ x^p≡y^p[n] avec p∈IN*.

Exemples
1) 18 ≡ 4[7] et 33 ≡ 5[7]
donc 18+33 ≡ 4+5[7]
ou encore 51 ≡ 9[7], (7|51-9)
et on a 18x33 ≡ 4x5[7]
ou encore 594 ≡ 20[7], (7|594-20).
2) 8≡-7[5] et 29≡4[5]
donc 8+29 ≡ -7+4[5] ou encore 37≡-3[5]
8x29 ≡ -7x4[5] donc 232≡-28[5].

Exercice 2 tp

Montrer que 594²⁰ ≡ 1[7].

Exercice 3 tp

Soit n un entier naturel
Montrer que 18²ⁿ≡1[19].

Correction

18²ⁿ = (18²)ⁿ=324ⁿ
324 ≡ 1[19] car 19|323
⇒ 324ⁿ ≡ 1ⁿ[19]
⇒ (18²)ⁿ≡1[19]
ainsi 18²ⁿ≡1[19].

Propriétés
Soit n∈IN* ; x et y sont deux classes dans ℤ/nℤ
x + y = x + y
x . y = x . y.

Exercice 4 tp

Résoudre dans ℤ/4ℤ, l'équation 2.x=0.

Correction

x	0	1	2	3
2x	0	2	0	2

donc S={0 ; 2}.

Remarque
2x = 0 ⇏ x = 0.