5.2.3 L’ensemble ℤ/pℤ dans le cas où p est premier

Définition
Soit x∈ℤ/pℤ.
On dit que x admet un inverse s'il existe un élément v dans ℤ/pℤ tel que xv=1.

Exemples
5∈ℤ/7ℤ
Soit u ∈ℤ/7ℤ tel que u5=1 on cherche u s'il existe.
u5=1 ⇔ 5u≡1[7]

On peut remarquer que u=3 mais on préfére la méthode de la congruence modulo 7 pour plus de connaissances.
On utilise l'Algorithme d'Euclide
7=1x5+2
5=2x2+1
donc 1=5-2x2=5-2x(7-1x5)=3x5-2x7.
soit 1≡3x5[7] donc u≡3x5[7]
et puisque 5u≡1[7] ou encore 3x5u≡3[7] donc u≡3[7]
ainsi 3 est l'inverse de 5.

Propriété (1)
Soit p un nombre premier.
(∀u∈ℤ*) (∃v∈ℤ): u.v≡1[p].

Propriété (2)
Soit p un nombre premier.
∀(u;v)∈(ℤ/pℤ)²: u.v=0 ⇒ u=0 ou v=0

Démonstration
u.v=0 ⇒ u.v=0
⇒ u.v≡0[p] ⇒ p|(u . v)
⇒ p|u ou p|v (car p est premier).

⇒ u≡0[p] ou v≡0[p]
⇒ u=0 ou v=0.

Remarque
Si p n'est pas premier alors la propriété précédente n'est pas vraie.
Contre exemple p=15=3x5
3.5=0 mais 3≠0 et 5≠0.

Exercice 1 tp

Soit n∈IN, montrer que n(n+1) est un nombre pair en utilisant la congruence.

Correction

On peut traiter cette question par disjonction de cas (si n est pair et le cas si n est impair)
On fait la même chose mais avec la congruence modulo 2.
ℤ/2ℤ={0 ; 1}
Notons que ℤ=0∪1 et 0={x∈IN/ x=2k avec k∈IN} est l'ensemble des nombres pairs.

Et 1={x∈IN / x=1+2k; k∈IN} est l'ensemble des nombres impairs
revenons maintenant à la question
Pour montrer que n(n+1) est pair il suffit de montrer que 2|n(n+1) ou encore n(n+1)≡0[2].
On a n∈IN donc si n∈0 alors 0.(0+1)=0 est un nombre pair
et si n∈1 alors 1.(1+1)=2 est aussi un nombre pair
ainsi (∀n∈IN): n(n+1) est pair.

Exercice 2 tp

Résoudre dans ℤ l'équation
(E): 5x ≡ 10[37].

Correction

Premièrement, on ne peut pas diviser par 5 mais on peut trouver l'inverse de 5 pour la congruence modulo 37
autrement dit on cherche u tel que
5.u≡1[37].
En utilisant l'algorithme d'Euclide.

37=7.5+2
5=2.2+1 ⇔ 1=5-2.2=5-2.(37-7.5)
⇔ 1=15.5-2.37
⇔ 15.5≡1[37].
On a d'une part (15.5).x ≡ 1.x[37]
et d'autre part 15.(5.x)≡15.10[37]
par transitivité x≡150[37].
150>37 donc on peut réduire ce nombre par la congruence.
150=4.37+2 d'ou x≡2[37]
ainsi S = {2+37k ; k∈Z}.