Exercice 1 tp

Résoudre dans ℤ/5ℤ les équations suivantes
1) 3x =2
2) x⁴ = 1
3) x²+2x- 3 = 0

Correction

On a ℤ/5ℤ={0; 1;2;3;4}
on peut utiliser le tableau de la congruence modulo 5

1) 3x =2 ⇔ x=4
donc S={4}

2) x⁴ =1⇔ x=1 ou x=2 ou x=3 ou x=4
donc S={1;2; 3;4}

3) x²+2x-3 = 0 ⇔x=1 ou x=4
donc S={1;4 }

Rappel -3 = 2

Exercice 2 tp

Soit n∈IN, en utilisant la notion de la congruence
Montrer que n(n+1) est un nombre pair

Correction

Cette question peut être accomplie par disjonction des cas (le cas n pair et le cas n impair)
on fera de meme, mais en utilisant la congruence modulo 2
ℤ/2ℤ={0 ; 1}

Rappel ℤ=0∪1, 0={x∈IN/ x=2k; k∈IN} cet ensemble est exactement l'ensemble des nombres pairs
et 1={x∈IN / x=1+2k; k∈IN} est l'ensemble des nombres impairs
il suffit donc de montrer que 2|n(n+1)
ou encore n(n+1) ≡ 0[2]
on a n∈IN donc si n∈0 alors 0x(0+1)=0 est un nombre pair
et si n∈1 alors 1x(1+1)=2 est bien aussi un nombre pair
ainsi ∀n∈IN: n(n+1) est pair

Exercice 3 tp

Résoudre dans ℤ l'équation 5x ≡ 10[37]

Correction

On cherche un inverse de 5 pour la congruence modulo 37
c'est à dire on cherche u tel que
5u ≡ 1[37]
en utilisant l'Algorithme d'Euclide
37=7.5+2
5=2.2+1 donc 1=5-2.2=5-2.(37-7.5)
=15.5-2.37

Ainsi 15.5 ≡ 1[37]
on a d'une part 15.5.x ≡ 1.x[37]
et d'autre part 15.5.x ≡ 15.10[37]
et par transitivité x ≡ 150[37]
et puisque 150 > 37 on peut simplifier
150=4.37+2 donc x ≡ 2[37]
alors S={2+37k; k∈Z}

Exercice 4 tp

Soient a=137 ; b=123 ; n=7
Montrer que 137 ≡ 123[7]

Correction

On a 137=19.7+4 tel que 0≤r=4< 7
et 123=17.7+4 tel que 0≤r'=4< 7
donc a et b ont le meme reste dans la division euclidienne
ainsi 137≡123[7]
de plus 137 ≡ 123 ≡ 4[7]
Notons que si a=bq+r tel que 0≤r<|b| alors a∧b=b∧r.