Exercice 1 tp

Soient a=537 ; b= 312; n=23
Montrer que 537 ≢ 312[23].

Correction

On a 537=23.23+8 tel que 0≤r=8< 23
et 312=13.23+13 tel que 0≤r'=13< 23
donc a et b n'ont pas le meme reste dans la division euclidienne
ainsi 537 ≢ 312[23].

Exercice 2 tp

Soit n∈IN, déterminer la valeur de n
sachant que n+9|n+28

Correction

n+9|n+28⇔∃k∈IN*, n+28=k(n+9)
⇔ (∃k∈IN*), 19=(k-1)(n+9)
k∈IN* ⇔ k-1∈IN
donc n+9|19
19 est un nombre premier donc
(n+9=1) ou (n+5=19) ou (n+9=-1) ou (n+9=-19)
ainsi (n=-8∉IN) ou (n=14) ou (n=-10∉IN) ou (n=-28∉IN) alors n=14

Exercice 3 tp

Soit n∈IN, déterminer toutes les valeurs de n
sachant que 7|n²+2n-8

Correction

On a n²+2n-8=n²+2n-15+7
=(n+5)(n-3)+7
et on a aussi 7|n²+2n-8 donc n²+2n-8=7k, k∈IN*
ainsi (n+5)(n+3)=7(k-1), (k-1)∈IN
donc (7|n+5) ou (7|n-3)
ou encore (n ≡ -5[7]) ou (n ≡ 3[7])
alors (n ≡ 2[7]) ou (n ≡ 3[7])

Exercice 4 tp

Soit n∈IN
on pose x= n²+3n+2 et y= n²+4n+3
1) Montrer que (n+1 | x) et (n+1 | y)
2) On pose z= 5x+3
(q1) Déterminer toutes les valeurs de n, n+1 | z
(q2) Montrer que (∀n∈IN), y ne divise pas z

Correction

1) On a x-(n+1)=n²+2n+1=(n+1)²
donc x=(n+1)(n+2)
cela signifie que (n+1) | x

Et on a de meme
y=(n+1)(n+3) donc (n+1) | y
2) (q1) on a (n+1 | x) et (n+1 | 5x+2)
⇒ (n+1) | (5x+2)-5x
⇒ (n+1) | 2
Remarque on a utilisé la propriété suivante
(x | a) ∧ (x | b) ⇒ x | (ua + v b) , (u; v∈ℤ)
on a (n+1) | 3
donc (n+1 = 1) ou (n+1 = -1)
ou (n+1 = 3) ou (n+1 = -3)

Ou encore (n = 0) ou (n=-2) ou (n=2) ou (n=-4)
et puisque n∈IN alors n=0 ou n=2
(q2) puisque (n+1) | z que si n=0 ou n=2
donc ∀n∈IN\{0;2}, y ∤ z
de plus si n=0 alors y=4
z=5.2+3=13 et 4 ∤ 13 et si n=2 alors y=15
z=5.12+3=63 et 15 ∤ 63
et par conséquent ∀n∈IN, y ∤ z

Exercice 5 tp

Soit n∈IN
Montrer que 7²ⁿ⁺³ - 5²ⁿ⁺² ≡ 0[3]

Correction

(a)) D'une part
7²ⁿ⁺³ = 343.(49ⁿ)
et 5²ⁿ⁺² = 25.(25ⁿ)
et puisque 3 | 24 ou encore 3 | (49-25)
alors 49 ≡ 25 [3]
⇒ ∀n∈IN, (49)ⁿ ≡25ⁿ [3]
ou encore 7²ⁿ ≡ 5²ⁿ [3]

(b) D'autre part
343-25=318 et puisque 3 | 318
alors 343 ≡ 25 [3]
(c)) On a donc

{	72n ≡ 52n [3]	⇒ 343.52n ≡ 25.52n [3]
	343 ≡ 25 [3]

ainsi 7²ⁿ⁺³ - 5²ⁿ⁺² ≡ 0[3]
A savoir a;b;c;d∈ℤ ; p∈IN*
1) a ≡ b [p] ⇒ aⁿ ≡ bⁿ [p] , n∈IN*
2) (a ≡ b [p]) ∧ (c ≡ d [p]) ⇒ a.c ≡ b.d [p].