Exercice 1 tp

Soit R une rotation de centre W(2i) et d'angle

Déterminer la forme complexe de la rotation R.

Correction

Soient M(z) un point d'affixe z∈ℂ et M'(z') son image par R.
R(M)=M' ⇔ z' - a=(z-a)e^ix
⇔ z' = 2i + (z - 2i)e^iπ/4.

ainsi

Exercice 2 tp

Soit R une rotation de centre W(i) et d'angle π/2.
1) Donner la forme complexe de R.
2) Déterminer B image de A(1-i) par R.

Exercice 3 tp

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O;u^→;v^→), on considère les points A(1+3i) ; B(i) et C(-1-i).
Montrer par deux méthode que A ; B et C sont alignés.

Correction

1) Première méthode
aff(AC^→)=-1-i-(1+3i)=-2-4i⇒AC^→(-2;-4)
aff(AB^→)=i-(1+3i)=-1-2i⇒AB^→(-1;-2).

Donc AC^→ = 2AB^→ et cela signifie que AC^→ et AB^→ sont colinéares ainsi A ; B et C sont des points alignés.
2) Deuxième méthode

et donc A, B et C sont alignés.

Exercice 4 tp

Soit t une translation de vecteur u^→(1-i).
1) Donner la forme complexe de t.
2) Déterminer B image du point A(3+2i) par t.

5.5 Points cocycliques

5.5.1 Définition

Les points A ; B ; C et D sont cocycliques s'ils appartiennent au même cercle.

5.5.2 Propriété

Le points A(a) ; B(b) ; C(c) et D(d) sont cocycliques si et seulement si

Exercice 5 tp

Montrer que A(1-i√3) ; B(-1-i√3) ; C(2i) et D(2) sont cocycliques.

Correction

1) Première méthode: si le centre du cercle est simple à déterminer comme c'est le cas
| a | = | b | = | c | = | d | = 2 et cela signifie que OA=OB=OC=OD=2 donc A; B; C; D appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2
ainsi les points A; B; C; D sont cocycliques.

2) Deuxième méthode

H = (-2-2√3)(2+√3)^-1∈IR donc A; B; C et D sont cocycliques.