5- Expressions complexes des transformations usuelles

5.1 Translation

5.1.1 Rappel

Soient t une translation de vecteur u^→
et M un point du plan.
t(M)=M' ⇔ MM'^→ = u^→.

5.1.2 Propriété

Soient t une translation de vecteur u^→(a) avec a∈ℂ
M(z) un point d'affixe z et M'=t(M) d'affixe z'.
z' = z + a est la forme complexe de t.

Exemple
Soient t une translation et u^→(1+2i) son vecteur.
M(z) un point d'affixe z et M'(z') son image par t.
z' = z + 1 + 2i est la forme complexe de t.

5.2 Symétrie centrale

5.2.1 Rappel

Soient S une symétrie centrale de centre W et M un point du plan.
S(M)=M' ⇔ WM^→= -WM^→

5.2.2 Propriété

Soient S une symétrie centrale de centre W(a) avec a∈ℂ
et M'=S(M) d'affixe z'.
z' = -z + 2a est la forme complexe de S.

Exemple
Soient S une symétrie centrale de centre W(5i)
M(z) un point d'affixe z et M'(z') son image par S.
z' = -z + 2.5i est la forme complexe de S
Ou encore z' = -z+10i.

5.3 Homothétie

5.3.1 Rappel

Soient h une homothétie de centre W et de rapport k et M un point du plan.
h(M)=M' ⇔ WM^→= kWM^→.

5.3.1 Propriété

Soit h une homothétie de centre W(a) et de rapport k et M'=S(M) d'affixe z'.
z' = a+k(z-a) est la forme complexe de h.

Exemple
Soit h une homothétie de centre (W(1+i) et de rapport 3.

Soient M(z) un point d'affixe z et M'(z') son image par h
z' = 1+i+3(z-1-i) = 3z-2-2i.
Ainsi z' = 3z-2-2i est la forme complexe de h.

5.4 Rotation

5.4.1 Rappel

R est une rotation de centre W et d'angle de mesure x signifie tout point M du plan
WM=WM' et (WM;WM') = x+2kπ
or WM=| z-a | et WM'=| z'-a | donc

Et d'après l'unicité de l'écriture d'un nombre complexe, alors

5.4.2 Propriété

Soient M(z) un point du plan et M'(z') son image par une rotation de centre W(a) avec a∈ℂ et d'angle x.
z' = a+(z-a)e^ix est l'écriture complexe de la rotation R.