1- المجموعة ℂ

تقديم

المعادلة x+1=0 ليس لها حل في IN لكن لها حل في ℤ
المعادلة 2x+1=0 ليس لها حل في ℤ لكن لها حل في ℚ
المعادلة x²-2=0 ليس لها حل في Q لكن لها حلين في IR
المعادلة x²+1=0 ليس لها حل في IR لان مربع عدد حقيقي موجب
عالم ايطالي تخيل عددا مربعه سالب, هذا العدد رمزله من بعده بالرمز i من L.Euler عام 1777 و i²=-1
i هو عدد خيالي لا ينتمي الى المجموعة IR
وبواسطة هذا العدد الجديد كونت الاعداد العقدية التي تكتب على الشكل i, a+ib حيث a;b∈IR
مجموعة الاعداد العقدية رمز لها بالحرف ℂ.

1.1 مبرهنة وتعاريف

1.1.1 مبرهنة 1 (مقبولة)

توجد مجموعة نرمز لها ب ℂ وتحتوي على العدد الخيالي i الدي مربعه i²=-1
كل عدد z من ℂ يسمى عددا عقديا ويكتب على الشكل الوحيد z=a+ib حيث a;b∈IR .

1.1.2 امثلة :

z= 2+i3 ; z'=-3+i2; ...

1.1.3 مبرهنة 2 (مقبولة)

المجموعة ℂ تتضمن IR وعمليات (الجمع والضرب) وخاصياتها تتمدد في المجموعة ℂ
لكن لا توجد علاقة ترتيب في ℂ يعني لا يمكن مقارنة عددين غير حقيقيين

1.1.4 الكتابة الجبرية لعدد عقدي

1- الكتابة a+ib حيث a;b∈IR, تسمى الشكل الجبري للعدد العقدي z=a+ib
2- العدد الحقيقي a يسمى الجزء الحقيقي للعدد العقدي z ونرمز له ب a=Re(z)
3- العدد الحقيقي b يسمى الجزء التخيلي للعدد العقدي z ونرمز له ب b=Im(z)
4- اذا كان a=0 فان العدد العقدي z يكتب على الشكل z=ib ويسمى z عددا تخيليا صرفا
امثلة 0=0i ; i8 ; i(-2) ; ..

1.2 تساوي عددين عقديين

1.2.1 العدد العقدي المنعدم

ليكن z=a+ib عددا عقديا بحيث a;b∈IR
a+ib =0 يكافئ a=0 و b=0

1.2.2 تساوي عددين عقديين

ليكن z=a+ib; z'=a'+ib'∈ℂ, a; b; a'; b'∈IR
z=z' ⇔ a=a' و b=b'

1.2.3 ميزة عدد حقيق وميزة عدد تخيلي صرفا

ليكن z=a+ib حيث a و b عددين حقيقيين
1- z∈ℝ ⇔ b=0
نرمز لمجموعة الاعداد العقدية الصرفة ب iIR
2- z∈iIR ⇔ a=0

1.2.4 ترميز

ليكن z=a+ib حيث a;b∈IR
يمكن كتابة z=a+ib على الشكل z=a+bi
امثلة : z=-3+2i ; z'=√7+5i; ..

1.3 مرافق عدد عقدي

1.3.1 تعريف

ليكن z=a+bi حيث a;b∈IR العدد العقدي a-bi يسمى مرافق العدد z ونرمز له ب z

1.3.2 امثلة :

7+3i=7-3i ; -2-i= -2+i

1.3.3 خاصيات

ليكن z و z' عددين عقديين z'≠0 ; k∈IR و n∈Z
z+z' = z + z' و k.z = k.z
z.z' = z.z' ; z.z...z = (z)ⁿ

حدد مرافق كل من z و z'
z=(4-5i).(3+i)

2- العمليات في المجموعة ℂ

2.1 خاصيات

a و b و a' و b' و k اعداد حقيقية
a+bi+a'+b'i=(a+a')+(b+b')i
k(a+bi)=ka+kbi
(a+bi).(a'+b'i)=aa'-bb'+(ab'+ba')i
(a+bi)²=a²-b²+2abi
(a-bi)²=a²-b²-2abi
(a+bi)(a-bi)=a²+b²
(bi)²=-b²

2.2 نتائج

ليكن a و b عددين حقيقيين وغير منعدمين
1) (a+bi).(a-bi)=a²+b²

كل عدد عقدي غير منعدم يقبل مقلوب

4) z=0 او z'=0 ⇔ ∀z; z'∈ ℂ: zz'=0

مثال 1

اكتب على الشكل الجبري كل من الاعداد التالية
z1=(2+3i)²
z2=2i(4+5i)
z3=(5-2i)²

تصحيح

z1=(2+3i)²= 4-9+12i=-5+12i
z2=2i(4+5i)=8i-10=-10+8i
z3=(5-2i)²=25-4-20i = 21-20i

مثال 2

1) احسب i³ ; i⁴ و i⁵
2) اكتب على الشكل الجبري للعدد z=(1+i)³

تصحيح

1) i³=-i ; i⁴=1 ; i⁵=i
2) z=(1+i)³= 1+3i+3i²+i³ = -2+2i

تمرين

اكتب على الشكل الجبري كل من الاعداد التالية
1) z=2+3i-0,5 +5i
2) z'=(1+4i)(2-5i)
3) z"=(2+5i)^-1

3- المستوى العقدي

3.1 لحق نقطة ومتجهة

3.1.1 تعاريف

نعتبر (O;u^→ ; v^→) معلما متعامدا ممنظما
1) لكل عدد عقدي z=a+bi حيث a و b عددين حقيقيين , نربطه بالنقطة M(a;b)
نقول ان M نقطة صورة للعدد العقدي z والمتجهة OM^→ هي متجهة صورة للعدد z
2) عكسيا لكل نقطة M(a;b) من المستوى نربطها بالعدد العقدي z=a+bi
نقول ان z لحق النقطة M وكذلك لحق المتجهة OM^→
الترميز M(z) يعني ان النقطة M لحقها z
eوالترميز z_M يعني ان z لحق النقطة M.

3.1.2 المستوى العقدي

1) مجموعة النقط M(z) حيث z∈ℂ تسمى المستوى العقدي
2) المحور (O,u^→) يسمى محور الجزء الحقيقي والمحور (O;v^→) محور الجزء التخيلي

3.2 لحق المتجهة AB^→

لتكن A(z) و B(z') نقطتين من المستوى العقدي حيث z=x+yi و z'=x'+y'i
لدينا AB^→=(x'-x)u^→+(y'-y)v^→ اذن لحق المتجهة AB^→ هو العدد العقدي x'-x+(y'-y)i
ولدينا x'-x+(y'-y)i=(x'+y'i)-(x+yi)=z'-z

3.2.1 خاصية

لتكن A(z) و B(z') نقطتين من المستوى العقدي
لحق المتجهة AB^→ هو Z_AB^→=z'-z

3.2.2 مثال

لتكن A(-4+3i) و B(-1+5i) نقطتين من المستوى العقدي
نحدد لحق المتجهة AB^→
لدينا : aff(AB^→)=-1-(-4)+i(5-3)
اذن aff(AB^→)=3+2i.