1- L’ensemble des nombres complexes ℂ

1.1 Théorèmes et définition

1.1.1 Introduction

Dans IN l'équation x+1=0 n'a pas de solution mais a une solution dans ℤ.
Dans ℤ l'équation 2x+1=0 n'a pas de solution mais a une solution dans ℚ.
Dans ℚ l'équation x²-2=0 n'a pas de solution mais a deux solutions dans IR.
Dans IR l'équation x²+1=0 n'a pas de solution.

Le carré d'un nombre réel est toujours positif.
Un mathématicien italien a imaginé un nombre, dont le carré est négatif, Ce nombre est noté i par L.Euler en 1777 tel que i²=-1
i est un nombre imaginaire et n'appartient pas à IR.
Et avec ce nouveau nombre imaginaire i, les nombres complexes se sont formés et s'écrivent sous la forme a+ib avec a;b∈IR.
L'ensemble des nombres complexes est noté par la lettre ℂ.

1.1.2 Théorèmes

Théorème 1 (admis)
Il existe un ensemble, noté ℂ contient un nombre imaginaire i dont le carré est négatif c'est à dire i²=-1.
Tout élément z de ℂ est appelé nombre complexe et s'écrit de façon unique sous la forme z=a+ib avec a;b∈IR.

Exemples
z= 2+i3 ; z'=-3+i2.

Théorème 2 (admis)
L'ensemble ℂ contient l'ensemble IR et les opérations (addition et multiplication) avec leurs propriétés sont prolongées dans ℂ.

Notons qu'il n'y a pas d'ordre dans l'ensemble ℂ
c'est à dire on ne peut pas comparer deux nombres non réels.

1.1.3 L’écriture algébrique d’un nombre complexe

Définitions
Soit z = a + ib∈ℂ avec a;b∈IR.
1) L'écriture a+ib est appelée forme algébrique du nombre complexe z.
2) Le réel a est appelé partie réelle du nombre complexe z noté a=Re(z).
3) Le réel b est appelé partie imaginaire de z noté b=Im(z).

4) Si a=0 alors le nombre complexe z s'écrit sous la forme z=ib et on dit que z est un nombre imaginaire pur.

Exemple
0 = 0i ; i8 ; i(-2) ; ..

1.1.4 Egalité de deux nombres complexes

Nombre complexe nul
Soit z = a + ib∈ℂ avec a;b∈IR
z =0 signifie que a=0 et b=0.

Egalité de deux nombres complexes
Soient z=a+ib et z'=a'+ib' deux nombres complexes avec a;b;a';b'∈IR
z=z' ⇔ a=a' et b=b'.

Caractéristique d'un nombre réel et d'un nombre imaginaire pur
Soit z = a + ib∈ℂ avec a;b∈IR.
1) z∈ℝ ⇔ b=0.
2) L'ensembles des imaginaires pur est noté par iIR
z∈iIR ⇔ a=0.

Notation
Soit z = a + ib∈ℂ avec a;b∈IR.
On peut écrire z autrement:
z=a+bi
c'est à dire on peut considérer que
a+ib = a+bi.

Exemples
z = -3+2i
z' = √7+5i ..