Nombres complexes (2)
1.1.4 Les opérations sur les nombres complexes
Propriétés
Soient a; b; a'; b' et k des nombres réels.
| a+bi+a'+b'i | = | (a+a')+(b+b')i | |
| k(a+bi) | = | ka+kbi | |
| (a+bi).(a'+b'i) | = | aa'-bb'+(ab'+ba')i | |
| (a+bi)² | = | a²-b²+2abi | |
| (a-bi)² | = | a²-b²-2abi |
| (a+bi)(a-bi) | = | a²+b² |
| (bi)² | = | -b² |
Résultats
Soient a et b deux nombres réels non tous nuls
(a+bi).(a-bi)=a²+b².
| 1 | = | a-ib |
| a+ib | a²+b² |
Tout nombre complexe non nul admet un inverse.
| a+ib | = | aa'+bb'+(ba'-ab')i |
| a'+ib' | a'²+b'² |
∀z; z'∈ℂ
zz'=0 ⇔ z=0 ou z'=0.
Exemples 1
Déterminer la forme algébrique de chacun des nombres complexes suivants:
1) (2+3i)².
2) 2i(4+5i).
3) (5-2i)².
Correction
1) (2+3i)²= 4-9+12i=-5+12i.
2) 2i(4+5i)=8i-10=-10+8i.
3) (5-2i)²=25-4-20i = 21-20i.
Exemples 2
1) Calculer i³ ; i4 et i5.
2) Déterminer la forme algébrique de (1+i)³.
Correction
1) i³=-i ; i4=1 ; i5=i.
2) (1+i)³= 1+3i+3i²+i³
= -2+2i.
Exercice 1 tp
Ecrire les nombres suivants sous la forme algébrique :
1) z=2+3i-0,5 +5i.
2) z'=(1+4i)(2-5i).
Exercice 2 tp
Ecrire le nombre suivant sous la forme algébrique
| z = | 1 |
| 2+5i |
Exercice 3 tp
Ecrire le nombre suivant sous la forme algébrique
| z = | 5 | + | 1 |
| 3+i | 3-i |
Correction
| z = | 5 | + | 1 | = | 5(3-i) + 3+i |
| 3+i | 3-i | (3+i)(3-i) |
| = | 12 - 4i | = | 18 | - i | 4 |
| 10 | 10 | 10 |
ainsi
| z = | 9 | - i | 2 |
| 5 | 5 |