11.3 المعادلة az²+ bz+ c = 0 حيث a;b; c∈ℂ a≠0

11.3.1 المعادلة z²=a, a∈ℂ

مثال 1

اذا كان arga معروفا,θ, فان a=|a|e^iθ
نضع z=|z|e^iα
z²=a ⇔ |z|²e^i2α=|a|e^iθ
⇔ |z|²=|a| و 2α≡θ[2π]
⇔ |z|=√|a| & α≡θ/2[2π/2]
⇔ z=√|a|e^i(θ+2kπ)/2;k=0 v k=1
⇔ z=√|a|e^iθ/2 v z=√|a|e^i(θ+2π)/2=-z
اذن S={√|a|e^iθ/2 ; -√|a|e^iθ/2}

تذكير

∀z∈ℂ* يقبل جذرين مربعين متقابلين.

مثال 2

نحل في ℂ المعادلة z²=4+3i
نضع z=x+iy
بما ان b=3>0 فان x و y لهما نفس الاشارة ومنه فان

{	x=	√2(4+√25)
		2
	y=	√2(√(25)-4)
		2

او

{	x=	-√2(4+√(25))
		2
	y= -	√2(√(25)-4)
		2

ومنه فان

{	x=	9√2
		2
	y=	√2
		2

او

{	x=	-9√2
		2
	y= -	√2
		2

اذن

{	z1=	9√2	+i	√2
		2		2
	z2=	-9√2	- i	√2
		2		2

وبالتالي

S={	9√2	+i	√2	;	-9√2	- i	√2	}
	2		2		2		2

11.3.2 المعادلة az²+bz+c=0

الشكل القانوني لثلاثية الحدود T(z)=az²+bz+c هو العدد المعرف كما يلي

T(z)=a([z+	b	]²-	Δ	)
	2a		(2a)²

نضع , Δ=b²-4ac: ويسمى هذا العدد , مميز ثلاثية الحدود T(z), (مهم !)

تعميل T(z) وحلول المعادلة
az²+bz+c=0

1) اذا كان Δ= 0 فان تعميل الحدودية T(z) هو

T(z)=a(z+	b	)²
	2a

ومنه فان المعادلة az²+bz+c=0 تقبل حلا مزدوجا z₁

z1=	-b
	2a

2) اذا كان Δ≠ 0 (في المجموعة ℂ لا توجد علاقة ترتيب)
وحسب الخاصية 9.1.2 يمكن ان نضع δ²=Δ

تعميل T(z)

T(z)=a(z-	-b-δ	)(z-	-z+δ	)
	2a		2a

z1=	-b-δ	; z2=	-b+δ
	2a		2a

S={	-b-δ	;	-b+δ	} اذن
	2a		2a

نتيجة

اذا كانت Δ≠0 فان تعميل T(z) هو :
T(z)=a(z-z₁)(z-z₂)

11.3.3 خاصيات

نعتبر في المجموعة ℂالمعادلة (E): az²+bz+c=0
حيث a;b;c∈ℂ, a≠0
و Δ=b²-4ac هو مميز المعادلة
اذا كانت Δ=0 فان المعادلة (E) تقبل حلا عقديا مزدوجا

S={	-b	}
	2a

اذا كانت Δ≠0 فان المعادلة (E) تقبل حلين عقديين

S={	-b-δ	;	-b+δ	}
	2a		2a

Δ=δ² حيث

تمرين

1) حد جذر مربع للعدد z=5-12i
2) نعتبر المعادلة (E) في المجموعة ℂ
2iZ²-(1-2i)Z+i =0
i1. احسب Δ مميز المعادلة (E)
i2. حل المعادلة (E)

تصحيح

1) نضع X=x+iy بحيث X²=z
x²-y²+2xyi=5-12i
اي x²-y²=5 ; 2xy=-12 < 0
اذن x و y لهما اشارتان مختلفتان ومنه فان

او {	x=	√2(5+√(25+144))
		2
	y=	- √2(√(25+144)-5)
		2

{	x=	-√2(5+√(25+144))
		2
	y=	√2(√(25+144)-5)
		2

اي x=9√(2) و y=-2√(2)
او x=-9√(2) و y=2√(2)
وبالتالي S={9√(2)-i2√(2); -9√(2) +i2√(2)}.

11.3.4 مجموع وجذاء الجذرين

نعتبر المعادلة (E): az²+bz+c=0 حيث a≠0 و z و z' حلين لها في ℂ

z+z'=	-b	; z.z'=	c
	a		a

11.3.5 حالة خاصة

اذا كانت a;b:c∈IR و Δ< 0 فان المعادلة (E) تقبل حلين عقديين مرافقين

S={	-b-i√(|Δ|)	;	-b+i√(|Δ|)	}
	2a		2a