تمرين

حدد الجذرين المربعين للعدد z=3-4i

تصحيح

نضع ً Z=x+iy حيث Z²=z
حل النظمة التالية اذن

او

ومنه فان

او

ًوبالتالي الجذران المطلوبان :
Z1=4√2 - i√2
Z2= -4√2 + i√2

11.1.3 الجذور من الرتبة n مثال

ليكن z³=-1,
نضع z=|z|e^iθ ولدينا -1=e^iπ
اذن z³=-1 ⇔ |z|=1 & 3θ=π +2kπ, k=0 v k=1 v k=2
( اذا تابعنا بوضع k=3 نلتقي بالحالة k=0)
z³=-1⇔ z=e^i(π+2kπ)/3
⇔ z=e^iπ/3 v z=e^iπ v z=e^i5π/3
اذن -1 يقبل ثلاثة جذور مكعبة
-1; 1/2+i(√3)/2 ; 1/2-i(√3)/2

11.1.4 حالة عامة

ليكن Z=re^iθ,r>0 , z=be^iα , b>0 بحيث zⁿ=Z
zⁿ=Z⇔bⁿ.e^inα=re^iθ
⇔bⁿ=r & nα=θ+2kπ; 0≤k≤n-1
⇔b=ⁿ√r & α=(θ+2kπ)/n ; 0≤k≤n-1

خاصية

ليكن Z=re^iθ,r>0, n∈IN* العدد Z يقبل n جذرا من الرتبة n, dومعرفا كما يلي z_k=ⁿ√r.e^i(θ+2kπ)/n ; 0≤k≤n-1

ملاحظة

|z_k|=ⁿ√r عدد تابت اذن n نقط M_k صور الجذور من الرتبة n للعدد z_k توجد على نفس الدائرة (L) التي مركزها O وشعاعها ⁿ√r وبما ان ∀0≤k≤n-1 فان قياس الزاوية (OM_k;OM_k+1)=2π/n[2π] تابت
وبالتالي النقط M_k تكون مضلعا منتظما محاطا بالدائرة (L)

11.1.5 صور الجذور من الرتبة n لعدد عقدي

خاصية

ليكن Z=re^iθ,r>0 , n نقط M_k صور الجذور من الرتبة n لعدد عقدي z_k تكون مضلعا منتظما محاطا بالدائرة (L) التي مركزها O وشعاعها ⁿ√r

11.2 الجذور من الرتبة n للوحدة

11.2.1 تعريف

ليكن n عددا صحيحا اكبر قطعا من 1 الجذر النوني او من الرتبة n للوحدة عدد عفدي z بحيث zⁿ=1

11.2.2 مثال n=2

ليكن z∈ℂ بحيث z²=1, لدينا 1=e^i2kπ ونضع z=|z|e^iα
z²=1 ⇔ |z|²e^i2α=e^i2kπ
⇔ |z|=1 & 2α≡0[2π]
⇔ |z|=1 & α=kπ; (2πk/2=kπ; 0≤k≤1)
⇔ z=e⁰ⁱ v z=e^iπ
⇔ z=1 v z=-1, ومنه فان الوحدة 1 تقبل جذرين مربعين

11.2.3 مثال n=3

ليكن z∈ℂ حيث z³=1, لدينا 1=e^i2kπ ونضع z=|z|e^iα
z³=1 ⇔ |z|³e^i3α=e^i2kπ
⇔ |z|=1 & α≡0[2π]
⇔ |z|=1 & α=2kπ/3 ;(0≤k≤3-1)
⇔ z=e⁰ⁱ v z=e^i2π/3 v z=e^i4π/3
⇔ z=1 v z=-1/2 +i(√3)/2
v z=-1/2 -i(√3)/2
ومنه فان الوحدة 1 تقبل ثلاثة جذور مكعبة

11.2.4 خاصية

ليكن n عددا صحيحا اكبر قطعا من 1 الوحدة (1) تقبل n جذرا من الرتبة n ومعرفة كما يلي z_k=e^i(2kπ)/n
=(e^i(2π)/n)^k; 0≤k≤n-1
الجذور النونية هي اذن z₀=z₁°=1; z₁;z₁²; ... ;z₁^n-1

11.2.5 مجموع الجذور من الرتبة n للوحدة

مجموع الجذور من الرتبة n للوحدة يساوي 0

برهان

1+ z₁+z₁²+ ... +z₁^n-1
مجموع حدود متتابعة لمتتالية هندسية اساسها z₁
اذن

=0
(z1)ⁿ=1 لان