2.3 Formule de Moivre

2.3.1 Propriété

Soient x un nombre réel et n un entier naturel non nul.
(cosx + isinx)ⁿ = cos(nx) + isin(nx).

Démonstration
On utilise le raisonnement par récurrence pour montrer la propriété
P(n):(cosx + isinx)ⁿ = cos(nx) + isin(nx)
n=1 P(n) est vraie par construction.

pour n=2
cosx+isinx)²=cos²x-sin²x+2icosxsinx
= -1+2cos²x+isin2x=-1+1+cos2x+isinx
donc (cosx+isinx)²=cos2x+isin2x ainsi P(n) est donc vraie pour n=2.
On suppose que P(n) est vraie pour n et on montre qu'elle est vraie pour n+1
(cosx+isinx)ⁿ⁺¹ =(cosx+isinx)ⁿ(cosx+isinx)
=(cosnx+isinnx)(cosx+isinx)
=cosnx.cosx-sinnx.sinx +i(cosnxsinx+sinnx.cosx)

=cos(nx+x)+isin(nx+x)
=cos(n+1)x+isin(n+1)x
donc P(n) est vraie pour n+1
ainsi (∀n∈IN*): (cosx+isinx)ⁿ=cosnx+isinnx.

Exemples
(cos(x) + isin(x))³ = cos(3x) + isin(3x).
(cos(x) + isin(x))⁴ = cos(4x) + isin(4x).

2.3.2 Résultat

Soit z∈ℂ* tel que z=[r ; x].
(∀n∈IN*): zⁿ = [rⁿ ; nx].

2.4 Formules d’Euler

2.4.1 Propriété 1

Soit z=cosx+isinx ∈ℂ.
z + z = 2cosx et z - z = i2sinx.

cosx =	z + z		sinx =	z - z
	2			2i

2.4.2 Propriété 2

∀x∈IR et( ∀n∈IN)

cos(nx) =	zn + zn		sin(nx) =	zn - zn
	2			2i

Exercice 1 tp

1) Linéariser sin²x et déterminer les fonctions primitives de sin²x.
2) Linéariser cos²x et déterminer les fonctions primitives de cos²x.

Exercice 2 tp

1) Linéariser sin³x et déterminer les fonctions primitives de sin³x.
2) Linéariser cos³x et déterminer les fonctions primitives de cos³x.

Exercice 3 tp

Déterminer l'ensemble des points M(Z) du plan tel que

|	Z-1+i	|=1
	Z+2i

Correction

|	Z-1+i	|=1⇔|Z-1+i|=|Z+2i|
	Z+2i

⇔|Z-(1-i)|=|Z-(-2i)|
⇔ AM = BM avec A(1-i) ; B(-2i).
M appartient donc à la médiatrice du segment [AB].

Ainsi l'ensemble des points M(Z) est la médiatrice du segment [AB].

Exercice 4 tp

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O;u^→;v^→). On considère les points A(1-i); B(2i) et C(2+2i).
Déterminer (L), l'ensemble des points M(Z) tel que
||2MA^→+MB^→-MC^→||=2√2.

Correction

Les points pondérés (A;2) ; (B;1) et (C;-1) admettent un barycentre G car 2+1+(-1)=2≠0.

|2MA^→+MB^→-MC^→|| = 2√2
⇔||(2+1-1)MG^→|| = 2√2
⇔2MG=2√2⇔MG = √2
et cela signifie que M appartien au cercle de centre G et de rayon √2.
G est un barycente alors
2OA^→ + OB^→ - OC^→ = 2OG^→
donc G((1-i)+ i -(1+i))
ainsi l'ensemble (L) est un cercle
de centre G(-i) et de rayon √2.