3- Notation exponentielle d’un nombre complexe non nul

3.1 Définition et propriétés

3.1.1 Rappel

Un nombre complexe z de module 1 s'écrit sous la forme
z= cos(x) + isin(x) = [ 1 ; x]
avec x∈IR et arg(z) ≡ x[2π].

3.1.2 Définition

Tout nombre complexe z de module 1 et d'argument x s'écrit sous la forme z=e^ix.

En d'autre terme cosx+isinx = e^ix.

Exemple

Cas général
∀z∈ℂ*)(∃x∈IR/ z=|z|e^ix

Exemple
Soit z = 1 - i. On a | z | = √(2)

ainsi z = √(2) e^{- π/4}.

3.1.3 Propriétés

Soient z=re^ix et z'=r'e^ix' deux nombres complexes.

Résultat
Soient z=re^ix et z'=r'e^ix' deux nombres complexes.

Exercice 1 tp

Ecrire le nombre complexe
z=(1+i).(1+√3i)
sous forme exponentielle.

Correction

Donc z= 2√(2) e^{i(π/4 + π/3)}
ainsi z=2√(2)e ^i7π/12.

Exercice 2 tp

Ecrire le nombre complexe z sous forme exponentielle

Correction

2+2i = 2√2(cos	- π	+ isin	- π	)
	4		4

donc z=2√2 .2 e^{i(-π/4 - 2π/3)}
ainsi z= 4√2 e^-i11π/12.

3.2 Forme exponentielle, formules de Moivre et Euler

3.2.1 Formule de Moivre

Soit z∈ℂ*.
Si z=re^ix alors zⁿ=rⁿ.e^inx avec n∈IN et x∈IR.

3.2.2 Formule d'Euler

Cas général
∀x∈IR et ∀n∈IN