Mathématiques du secondaire qualifiant

Nombres complexes (16)

Exercice 1 tp

Soit h une homothétie de centre (W(1+i) et de rapport 3 . Soient M(z) un point d'affixe z et M'(z') son image par h
1) Déterminer la forme complexe de l'homothétie h
2) Déterminer B image du point A(3+5i) par h

Correction

1) forme complexe de l'homothétie h
h(M)=M' ⇔ z' = (1+i) + 3(z - (1+i))
⇔ z' = 3z-2-2i
Ainsi z' = 3z - 2 - 2i est la forme complexe de h

2) Image du point A(1+2i) par h
h(A) = B ⇔ zB = 3zA - 2 - 2i
⇔ zB = 3(3+5i) - 2 - 2i
⇔ zB = 9+15i - 2 - 2i
⇔ zB = 7 + 13i
Ainsi B(7 + 13i)

Exercice 2 tp

Soit T une transformation dans le plan complexe. Soient M(z) un point d'affixe z et M'(z') son image par T tel que
z' + 2i = 5z
Montrer que T est une homothétie et déterminer ses éléments caractéristiques

Correction

Doient M1(z1) et M2(z2) deus points du plan complexe et M'1(z'1) et M'2(z'2) leurs images respectives par T
T(M1) = M'1 et T(M2) = M'2

T(M1) = M'1 ⇔ z'1 + 2i = 5z1
T(M2) = M'2 ⇔ z'2 + 2i = 5z2
Donc z'2 + 2i - (z'1 + 2i) = 5z2 - 5z1
⇔ z'2 - z'1 = 5(z2 - z1)
⇔ M'1M'2 = 5M1M2
Et d'après la propriété caractéristique d'une homothétie alors T est une homothétie de rapport 5
Il reste à déterminer son centre w(zw) et cela revient à déterminer le seul point invariant par l'homothétie T

T(w) = w ⇔ zw + 2i = 5zw
⇔ 5zw - zw = 2i ⇔ 4zw = 2i

⇔ zw = 1i
2

Finalement T est une homothétie de rapport 5

et de centre w( 1i )
2
Exercice 3 tp

Soit R une rotation de centre W(2i) et d'angle

θ = π
4

Déterminer la forme complexe de la rotation R

Correction

Soit M(z) un point d'affixe z∈ℂ et M'(z') son image par R
R(M) = M' ⇔ z' - a = (z-a)eix
z' = 2i + (z - 2i)eiπ/4

⇔ z ' = 2i + (z-2i)(√(2) + i√(2)
22

Ainsi

z ' = √(2)(1 + i)z + √(2) + i(2 - √2)
2
Exercice 4 tp

Soit R une rotation de centre W(i) et d'angle π/2
1) Donner la forme complexe de R
2) Déterminer B image de A(1-i) par R

Exercice 5 tp

Soit T une transformation dans le plan complexe. Soient M(z) un point d'affixe z et M'(z') son image par T tel que
z' + 2i = iz
Montrer que T est une rotation et déterminer ses éléments caractéristiques