Rappel
Soient t une translation de vecteur u^→(a), a∈ℂ ; M(z) un point d'affixe z et M'=t(M) d'affixe z'
t(M) = M' ⇔ MM'^→ = u^→ ⇔ z' - z = a
z' = z + a est la forme complexe de t

Soit S une symétrie de centre W(a), a∈ℂ et M un point d'affixe z et M'=S(M) d'affixe z'
S(M) = M' ⇔ WM^→ = -WM^→ ⇔ z' = -z + 2a
z' = -z + 2a est la forme complexe de S

Soit h une homothétie de centre W(a) et de rapport k et et M un point d'affixe z et M'=h(M) d'affixe z'
h(M)=M' ⇔ WM^→= kWM^→ ⇔ z' = a+k(z-a)
z' = a+k(z-a) est la forme complexe de h

Soit R une rotation de centre W(a); a∈ℂ , et d'angle x et et M un point d'affixe z et M'=R(M) d'affixe z'
z' = a+(z-a)e^ix est l'écriture complexe de la rotation R

Exercice 1 tp

Soit t une translation de vecteur u^→(1+2i)
Soit M(z) un point d'affixe z et M'(z') son image par t
Déterminer la forme complexe de la translation t

Correction

t(M) = M' ⇔ z' - z = 1+2i
Donc z' = z + 1 + 2i est la forme complexe de t

Exercice 2 tp

Soit t une translation de vecteur u^→(1-i)
1) Donner la forme complexe de t
2) Déterminer B image du point A(3+2i) par t

Correction

1) t(M) = M' ⇔ z' - z = 1-i
Donc z' = z + 1-i est la forme complexe de t
2) t(A) = B ⇔ z_B = z_A + 1-i
⇔ z_B = 3+2i + 1-i
Ainsi B(4+i)

Exercice 3 tp

Soit T une transformation dans le plan complexe. Soient M(z) un point d'affixe z et M'(z') son image par T tel que
z'+2i=z Montrer que T est une translation et déterminer son élément caractéristique

Correction

T(M) = M' ⇔ z' + 2i = z
⇔ z'-z = -2i ⇔ aff(MM'^→) = -2i
Et cela signifie que T est une translation de vecteur u^→(-2i)

Exercice 4 tp

Soit S une symétrie centrale de centre W(5i) . Soit M(z) un point d'affixe z et M'(z') son image par S
Déterminer la forme complexe de la symétrie centrale S

Correction

S(M)=M' ⇔ z' = -z + 2(5i)
Donc z' = -z+10i est la forme complexe de S

Exercice 5 tp

Soit S une symétrie de centre
W(1-2i)
1) Donner la forme complexe de S
2) Déterminer B image du point A(2+i) par S
3) Vérifier que C(1+i) n'est pas image de E(3-i) par S

Correction

1) S(M)=M' ⇔ z' = -z + 2(1-2i)
Donc z' = -z + 2-4i est la forme complexe de S
2) S(A) = B ⇔ z_B = -z_A + 2-4i

⇔ z_B = -(2+i) + 2-4i
⇔ z_B = -5i
Ainsi B(-5i)
3) Supposons que C est l'image de E(3-i) par S
S(E) = C ⇔ z_C = -z_E + 2-4i
⇔ 1+i = -3+i + 2-4i
⇔ 1+i +3-i - 2+4i = 0
⇔ 2+4i = 0
Et ce n'est pas possible
Donc S(E) ≠ C