Mathématiques du secondaire qualifiant

Nombres complexes (8)

Rappel
1) Dans le plan complexe rapporté à un repère
orthonormé direct (O;u;v), on considère quatre points distincts A(a); B(b); C(c) et D(d)
(u ; AB) = argz'-argz+2kπ tel que k∈ℤ

(AB ; CD) ≡ argd-c[2π]
b-a

2) Trois points distincts A(a) ; B(b) et C(c) sont alignés

c-a ∈IR
b-a
⇔ arg c-a =0 ou π+2kπ
b-a

3) (AB)⊥(CD) ⇔

arg c-a π ou [2π]
b-a 2 2
Exercice 1 tp

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O;u;v), on considère trois points A(a) ; B(b) ; C(c) tels que a=1

b=1- i √3
2 2
c=1+ i √3
2 2

1) Calculer les distances AB ; AC et BC

2) Déterminer une mesure de l'angle
(AB ; AC)

Correction

1) AB=|b-a|=|(0,5-1)-i(0,5)√3|
=√((-0,5)²+(0,5√3)²)
Ainsi AB = 1
AC=|Zc-Za|=(0,5-1)+i(0,5)√3|
=√((-0,5)²+(0,5√3)²)
Ainsi AC = 1
BC=|Zc-Zb|=|(0,5-0,5)+i(√3)|
Ainsi BC = 3

2) Mesure de l'angle (AB ; AC)

(AB ; AC) ≡ argc-a[2π]
b-a
≡ arg-0,5+i(0,5)√3[2π]
-0,5-i(0,5)√3

≡ arg(-0,5+i(0,5)√3)
- arg(-0,5-i(0,5)√3)

- (-2π)
3 3

Donc

(AB ; AC) = +2kπ , k∈ℤ
3

Ou encore

(AB ; AC) = -2π +2kπ , k∈ℤ
3
Exercice 2 tp

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O;u;v), on considère trois points A(a) ; B(b) ; C(c) tels que
a = 1 + i ; b = 2i et c = -3 + 5i
1) Déterminer une mesure de l'angle
(AB ; AC)
2) Déduire que les points A ; B et C sont alignés

Correction

1) Mesure de l'angle (AB ; AC)

(AB ; AC) ≡ arg-(3+5i)-(1+i)[2π]
2i-(1+i)
≡ arg4(-1+i)[2π]
-1+i

≡ arg(4)[2π] ≡ arg(4(1 + 0i)
Ainsi (AB ; AC) ≡ 0[2π]
2) (AB ; AC) ≡ 0[2π] signifie que A ; B et C sont alignés