Exercice 1 tp

Le plan complexe est rapporté à un repère
orthonormé direct (O;u^→;v^→)
Déterminer l'ensemble des points M(Z) du plan tel que

|	Z - 1 + i	| = 1
	Z + 2i

Correction

|	Z - 1 + i	| = 1 ⇔ |Z - 1 + i| = | Z + 2i|
	Z + 2i

⇔ |Z - (1-i)| = |Z - (-2i)|
⇔ AM = BM avec A(1-i) ; B(-2i)
Donc M appartient à la médiatrice du segment[AB]
Donc l'ensemble de points M(Z) est la médiatrice du segment [AB]

Exercice 2 tp

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O;u^→;v^→), on considère les points A(1-i); B(2i); C(2+2i)
Déterminer (L), l'ensemble des points M(Z) tel que
||2MA^→ + MB^→-MC^→|| = 2√2

Correction

Les points pondérés (A;2) ; (B;1) ; (C;-1) admet une barycentre G car 2+1+(-1)=2≠0

|2MA^→+MB^→-MC^→|| = 2√2
⇔ ||(2+1-1)MG^→|| = 2√2
⇔2MG = 2√2⇔MG = √2
et cela signifie que M appartien au cercle de centre G et de rayon √2
G est une barycente alors
2OA^→ + OB^→ - OC^→ = 2OG^→
donc G((1-i)+ i -(1+i))
Ainsi l'ensemble (L) est un cercle
de centre G(-i) et de rayon √2

Rappel
1) Formule de Moivre
Soient x un nombre réel et n un entier naturel non nul
(cosx + isinx)ⁿ= cos(nx) + isin(nx)

Soit z∈ℂ* tel que z=[r ; x]
∀n∈IN* on a zⁿ = [rⁿ ; nx]

2) Formules d’Euler Soit z = cosx+isinx ∈ℂ
z + z = 2cosx et z - z = i2sinx

cosx =	z + z		sinx =	z - z
	2			2i

∀x∈IR et ∀n∈IN

cos(nx)=	zn + zn		sin(nx) =	zn - zn
	2			2i

Exercice 3 tp

Linéariser cos²x et déterminer les primitives de cos²x

Correction

On pose z=cosx + isinx donc zz=1 et on utilise la formule d'Euler

(cosx)² = (	z + z		)² =	z² + 2zz + z²
	4			4

=	( z² + z² )	+	1
	2( 2 )		2

Ainsi cos²(x) =	1	cos(2x) +	1
	2		2

Et donc les fonctions primitives de cos²(x) sont les fonctions F_k définies par

Fk(x) =	1	sin2x +	1	x + k avec k∈IR
	4		2

Exercice 4 tp

Linéariser sin³x et déterminer les primitives de sin³x.