Dérivation (3)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction définie par
| f(x) = | x³-3x | si x≤1 | |
| f(x) = | x²-3 | si x>1 |
1) Montrer qaue f n'est pas dérivable au point 1.
et déterminer les équations des demi-tangentes au points A(1;f(1)).
2) Déterminer l'équation de la tangente au point B(-1;f(-1)).
Correction
On ne peut pas remplacer 1 dans l'expression f(x)=x²+3
car cette expression est valable pour les nombres supérieurs strictement à 1.
On a f(1)=1³-3.1=-2.
lim 1+ |
f(x)-f(1) | = | lim 1+ |
x²-3+2 | x-1 | x-1 |
| = | lim 1+ |
x²-1 | lim 1+ |
(x+1) | = 2 | x-1 |
f est dérivable à droite à 1 et f'd(1)=2
donc (C) admet une demi-tangente à droite au point A(1;-2)
d'équation y=2(x-1)-2 ou encore y=2x-4.
lim 1- |
f(x)-f(1) | = | lim 1- |
x³-3x+2 | x-1 | x-1 |
on pose p(x)= x³-3x+2.
On a p(1)= 1-3+2=0 donc le polynôme p(x) est divisble par x-1 ou encore il existe un polynôme q(x) de degré 2 tel que
p(x)=(x-1)q(x).
| x³ | +0x² | -3x | +2 | x-1 | ||
| -x³ | +x² | x²+x-2 | ||||
| 0 | +x² | -3x | +2 | |||
| -x² | +x | |||||
| 0 | -2x | +2 | ||||
| +2x | -2 | |||||
| 0 | 0 |
donc q(x)=x²+x-2
ainsi x³-3x+2 = (x-1)(x²+x-2).
lim 1- |
f(x)-f(1) | = | lim 1- |
(x-1)(x²+x-2) | x-1 | x-1 |
| = | lim 1- |
x²+x-2 | = 0 |
donc f est dérivable à gauche à 1 et f'g(1)=0
ainsi (C) admet une demi-tangente à gauche à 1
d'équation y= 0(x-1)-2
ou encore y=-2 cette demi-tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
On a f'g(1)≠f'd(1) donc f n'est pas dérivable en 1.
2) Equation de la tangente au point B(-1;f(-1)).
On étudie la dérivabilité de f au point -1.
-1 < 1 donc on s'intéresse à l'expression
f(x)=x³-3x on a donc
f(-1)=-1+3=2.
lim -1 |
f(x)-f(-1) | = | lim -1 |
x³-3x-2 | x+1 | x+1 |
on pose h(x)=x³-3x-2 et on a h(-1)=0 donc h(x) est divisible par x+1.
| x³ | +0x² | -3x | -2 | x+1 | ||
| -x³ | -x² | x²-x-2 | ||||
| 0 | -x² | -3x | -2 | |||
| +x² | +x | |||||
| 0 | -2x | -2 | ||||
| +2x | +2 | |||||
| 0 | 0 |
lim -1 |
f(x)-f(-1) | = | lim -1 |
x²-x-2 = 0 =f'(-1) | x+1 |
f'(-1)=0 signifie que (C) admet une tangente d'équation y=f(-1)=2.
