Mathématiques du secondaire qualifiant

Dérivation (2)

1.1.4 Dérivée à gauche et dérivée à droite

Dérivée à gauche
Soit f une fonction définie sur un intérvalle sous la forme [a;a+r[.
f est dérivable à droite à a s'il existe un nombre réel L tel que


lim
x→a+
f(x)-f(a) = L
x-a

L est appelé le Nombre dérivé de f à droite à a et est noté f'd(a) .

f'd(a) =
lim
x→a+
f(x)-f(a)
x-a

Exemple Dérivabilité de la fonction f=√ en 0+


lim
x→0+
f(x)-f(0)=
lim
x→0+
√(x)
xx
=
lim
x→0+
1= +∞
√(x)

f n'est pas dérivable en 0+.

Dérivée à gauche
Soit f une fonction définie sur un intérvalle sous la forme ]a-r;a].
f est dérivable à gauche à a s'il existe un nombre réel L tel que


lim
x→a-
f(x)-f(a) = L
x-a

L est appelé le Nombre dérivé de f à gauche à a et set noté f'g(a) .

f'g(a) =
lim
a-
f(x)-f(a)
x-a

Propriété
f est dérivable au point a équivaut à f est dérivable à droite et à gauche à a et f'd(a)=f'g(a).

Exemple
Soit f une fonction définie par

{f(x) = 2x²+4x+3si x <-2
f(x) = x²-1 si x ≥ -2

f(-2)=(-2)²-1=3.


lim
-2-
f(x)-f(-2)=
lim
-2-
2x²+4x+3-3
x+2x+2
=lim
-2+
2x(x+2) =
lim
-2+
2x=-4
x+2

f est donc dérivable à gauche à (-2) et f'g(-2)=-4.


lim
-2+
f(x)-f(-2)=
lim
-2+
x²-4
x+2x+2
=
lim
-2+
x-2 = -4

f est dérivable à droite à -2 et f'd(-2)=-4.
f'd(-2)=f'g(-2)=-4 ⇒ f est dérivable en -2.

Interprétation de la demi-tangente
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;i;j). Soit f une fonction et (C) sa courbe représentative.
1) f est dérivable à droite à a signifie que (C) admet une demi tangente au point A(a,f(a)) d'équation y=f'd(a)(x-a)+f(a).

2) f est dérivable à gauche à a signifie que (C) admet une demi tangente au point A(a,f(a)) d'équation y=f'g(a)(x-a)+f(a).
3) Si f n'est pas dérivable à droite (ou à gauche) au point a et

lim
x→a±
f(x)-f(a) = ±∞
x-a

alors la (C) admet une demi-tangente verticle au point A(a;f(a)).

Exemple
La courbe de la fonction f définie par f(x)=√(x)
admet une demi-tangente verticale au point O.