Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	5x
	x²-4

Calculer f'(x).

Correction

f est une fonction rationnelle donc dérivable sur son domaine de définition D=IR\{4}.

Soit x∈D

f '(x)=	(2x+5)'(x-4)-(2x+5)(x-4)'
	(x-4)²
=	(2)(x-4)-(2x+5)(1)
	(x-4)²
=	- 13
	(x-4)²

Exercice 2 tp

Soit g une fonction définie par

g(x) =	x²-2x
	x²+1

Calculer g'(x) tel que x∈D.

Correction

g est une fonction rationnelle donc dérivable sur son domaine de définition D=IR
car (∀x∈IR): x²+1≠0.

Soit x∈D

g '(x)=	(x²-2x)'(x²+1)-(x²-2x)(x²+1)'
	(x²+1)²
=	(2x-2)(x²+1)-(x²-2x)(2x)
	(x²+1)²
=	2x³+2x-2x²-2-2x³+4x²
	(x²+1)²
g'(x) =	2x²+2x-2
	(x²+1)²

1.3 Continuité et dérivabilité

1.3.1 Propriété

Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et a∈I.
Si f est dérivable au point a alors f est continue au point a.

Démonstration
Il suffit de montrer que

lim a

f(x) - f(a) = 0

lim a	f(x) - f(a) =	lim a	(x-a)(f(x)-f(a)
			x-a

=	lim a	(x-a)	lim a	f(x)-f(a)
				x-a

= 0 x f'(a) = 0

donc

lim a

f(x) - f(a) = 0

Ou encore

lim a

f(x) = f(a)

et par conséquent f est continue au point a.

1.3.2 Remarque

La réciproque du propriété précédente n'est pas toujours vraie
C'est à dire si f est continue au point a alors f n'est pas nécessairement dérivable au point a.

Contre exemple
Soit f une fonction numérique définie par

{	f(x)=x+1	si x< 2
	f(x)=2x-1	si x≥2

f est continue en 2 mais n'est pas dérivable en 2.