Dérivation (6)
2- Dérivabilité de la réciproque et de la composée de deux fonctions dérivables
2.1 Dérivabilité de la composé de deux fonctions dérivables
2.1.1 Exemple
Soient f et g deux fonctions définies par
f(x)=2x-1 et g(x)=x².
1) Déterminer gof(x).
2) Calculer f(3) et f'(3).
3) Calculer g'(5) et gof'(3).
Correction
1) f est un polynôme donc Df=IR.
g est également un polynôme donc Dg=IR
ainsi f(IR)⊂IR.
| I=IR | f → |
J=IR | g → |
IR |
| x | → | f(x) | → | g(f(x)) |
| I=IR | gof → |
IR | ||
f:x →f(x)= y et g:y→y²=(2x-1)²=4x²-4x+1
donc (∀x∈IR): g(f(x))= 4x²-4x+1.
2) f(3)=2.3-1=5 et f est un polynôme donc dérivable sur IR.
Soit (x∈IR): f'(x)=(2x-1)'=2
donc (∀x∈IR): f'(x) = 2 ainsi f'(3)=2.
g est un polynôme donc dérivable sur IR.
Soit (x∈IR): g'(x)= (x²)' = 2x
donc g'(5) = 2x5 = 10.
La fonction gof est un polynôme donc dérivable sur IR.
Soit (x∈IR): (gof)'(x)=(4x²-4x+1)'= 8x-4
donc (gof)'(3)=8x3-4=20.
Remarque
(gof)'(3)=g'(f(3))f'(3)
2.1.2 Propriété
Soient f et g deux fonctions définies respectives sur I et J avec f(I)⊂J.
Si f est dérivable au point a et g est dérivable au point f(a) alors gof est dérivable au point a
et on a (gof)'(a)=g'(f(a))f'(a).
Si f est dérivable sur I et g est dérivable sur J alors gof est dérivable sur I
et on a (∀x∈I): (gof)'(x)=g'(f(x))f'(x).
Démonstration Soit a∈I
lim a |
gof(x)-gof(a) |
| x-a |
| = | lim a |
(gof(x)-gof(a)) . (f(x)-f(a)) |
| (f(x)-f(a)) . (x-a) |
= g'(f(x)).f'(x).
Cas particulier
Si f est dérivable sur I
alors (f(ax+b))'(x)= af'(ax+b).
f(x)= sin(2x+3)
sin est dérivable sur IR donc f est dérivable sur IR.
Soit (x∈IR): f'(x)=2sin'(2x+3)=2cos(2x+3).
2.2 Dérivée de la fonction réciproque
2.2.1 Propriété 1
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et a∈I.
Si f est dérivable au point a et f'(a)≠0 alors sa fonction réciproque f-1 est dérivable au point b=f(a).
| et (f-1)'(b) = | 1 | = | 1 |
| f'(f-1(b)) | f'(a) |
2.2.2 Propriété 2
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I.
Si f est dérivable sur I et (∀x∈I): f'(x)≠0 alors sa fonction réciproque f-1 est dérivable sur J=f(I).
| Et ∀y∈J: (f-1)'(y) = | 1 |
| f'(f-1(y)) |
Démonstration
Soit y∈f(I): (∃x∈I)/y=f(x).
lim b |
f-1(y)-f-1(b) | = | lim a | f-1(f(x))-f-1((f(a)) |
| y-b | f(x)-f(a) |
| = | im a | x-a | = | 1 |
| f(x)-f(a) | f'(a) |
ainsi
| (f-1)'(b) = | 1 | = | 1 |
| f'(f-1(b)) | f'(a) |