Dérivation (9)
3.5 Puissances rationnelles xr (r∈Q*)
3.5.1 Rappel
Soient x∈IR+* et r un nombre rationnel non nul tel que
| r = | p | avec p∈Z* et q∈IN* |
| q |
Le nombre xr est la puissance rationnelle de x et on écrit xr=q√xp.
xp/q = q√(x)p tel que x>0.
3.5.2 Propriété
Soit (r∈ℚ*). La fonction x→ xr est continue et dérivable sur IR+*
et (∀x∈IR+*): (xr)'=rxr-1.
Exemple
| (x2/3) ' = | 2 | x2/3 - 1 = | 2 | x- 1/3 |
| 3 | 3 |
3.5.3 Résultat
Soient f et g deux fonctions telles que f(x)=(g(x))r avec (r∈ℚ*).
Si g est strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est dérivable sur I
et (∀x∈I): f'(x) = r.g'(x)(g(x))r-1.
Exemple
Soit f(x)=(x²-1)-5/3.
D={x∈IR/ x²-1>0}
=]-∞:-1[∪]1;+∞[.
La fonction x→x²-1 est strictement positive et dérivable sur D
donc f est dérivable sur D. Soit x∈D
| f '(x) = | -5 | (x²-1)'(x²-1)-5/3 - 1 |
| 3 |
ainsi ∀x∈D
| f '(x) = | -10 | x(x²-1)-8/3 |
| 3 |
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | ∛(x²+2) - 3 |
| x-5 |
Calculer la limite suivante en utilisant la dérivée.
lim 5 | f(x) |
Correction
On considère la fonction g définie par
g(x) = ∛ (x²+2).
g(5) = ∛ (5²+2)
= ∛ (27)
= ∛ (3³)
donc g(5)= 3.
| f(x) = | g(x) - g(5) |
| x-5 |
La fonction x→x²+2 est un polynôme donc dérivable sur IR
et de plus strictement positive sur l'intervalle IR
donc g est dérivable sur IR et en particulier au point 3
ainsi
lim 5 | g(x) - g(5) | = g '(5) |
| x-5 |
Soit x∈IR
| g '(x) = | 2x |
| 3(∛(x²+2))² |
| donc g '(5) = | 10 |
| 3(∛(5²+2))² |
ainsi
lim 5 | f(x) = | 10 |
| 27 |