2.3 Dérivée de la fonction arctan

2.3.1 Rappel

Soit (x∈IR) on a arctan(x)=(tan^-1)(x).
La fonction tan est dérivable sur l'intervalle

I = ]	-π	;	π	[
	2		2

et sa fonction dérivée tan' ne s'annule pas sur I donc sa fonction réciproque tan^-1 est dérivable sur tan(I)=IR. Soit x∈IR
artan(x)=y ⇔ x=tan(y).

Donc (arctan)'(x)=(tan^-1)'(x).

(arctan)'(x) =	1
	(tan)'(arctan(x))
=	1
	1+(tan)²(arctan(x))

puisque tan²(arctan(x))=x²

alors (∀x∈IR): (arctan)'(x)=	1
	1+x²

2.3.2 Propriété 1

La fonction arctan est dérivable sur IR et on a

(∀x∈IR): (arctan)'(x) =	1
	1 + x²

2.3.4 Propriété 2

Si une fonction u est dérivable sur un intervalle I alors la fonction g définie sur I
par g(x)=arctan(u(x)) est dérivable sur I.

(∀x∈I) (arctan)'(u(x)) =	u'(x)
	1 + (u(x))²

Exemple
Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=arctan(x²+5x). Calculer f'(x).

Correction
x→3x+2 est un polynôme donc dérivable sur IR et donc f est dérivable sur IR

(∀x∈IR): f '(x) =	(x²+5x)'
	1 + (x²+5x)²

ainsi (∀x∈IR): f '(x) =	2x + 5
	1 + (x²+5x)²

2.3 Dérivée de la fonction ⁿ√ avec n≥1

2.3.1 Introduction

Soit x∈J=]0;+∞[.
ⁿ√x =y ⇔ x=yⁿ=f(y)
f est dérivable sur I=]0;+∞[ et f'(y)=ny^n-1≠0
donc f^-1 est dérivable sur J=f(I)=]0;+∞[

et (n√x) ' =	1
	n(n√x)n-1

2.3.2 Propriété

Soit n∈IN*.
La fonction ⁿ√x est dérivable sur IR^+*

et (n√x) ' =	1
	n(n√x)n-1

Exemple

(5√x) ' =	1
	5(5√x)4

2.3.3 Résultat

Si f est une fonction numérique f strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors ∀n∈IN* la fonction ⁿ√f est dérivable sur I

et (n√f) ' =	f '
	n(n√f)n-1

Cas particulier
Si f est une fonction numérique strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors la fonction √f est dérivable sur I.

Et on a

(√f) ' =	f '
	2√(f)

Exercice 1 tp

Soient f et g deux fonctions définies par
f(x)= ⁿ√(x²+x+3) et g(x)= x - √(2x-1).
Calculer f '(x) et g '(x).