Mathématiques du secondaire qualifiant

1- المعادلات التفاضلية: y'=ay+b

1.1 تعريف

ليكن a و b عددين حقيقيين ونعين ب y للدالة f وب y' للدالة المشتقة الاولى f'
المعادلة التفاضلية من الرتبة الاولى بمجهول واحد الدالة y هي معادلة تكتب على الشكل y'=ay+b.

امثلة

1) y'=2y+5
2) y'=-3y+1
3) y'=7y

1.2 حلول المعادلة التفاضلية y'=ay

1) اذا كانت y=0 فهي حل خاص للمعادلة y'=ay
2) اذا كانت y≠0 فان

y'=ay ⇔	y'	=a
	y

اي ln|y|=ax+t حيث t∈IR
اي y=±e^ax+t = ±e^t.e^ax

نضع ±e^t=k لانه عدد تابت اذن y=ke^ax هو الحل ىالعام للمعادلة التفاضلية y'=ay

1.2.1 خاصية 1

الحل العام للمعادلة التفاضلية y'=ay يكتب على الشكل y=ke^axحيث k∈IR.

1.2.2 مثال 1:

الحل العام للمعادلة التفاضلية y'=3y هو y=ke^3x حيث k∈IR

1.2.3 مثال 2:

الحل العام للمعادلة التفاضلية y'=-5y هو y=ke^-5x حيث k∈IR

1.3 حلول المعادلة التفاضلية y'=ay+b حيث a≠0

y'=ay+b ⇔ y'=a(y+	b	)
	a

⇔(y+	b	)'=a(y+	b	)
	a		a

Y=y+	b	نضع
	a

y'=ay+b⇔ Y'=aY
حسب الحالة الاولى : Y=ke^ax اي

y+	b	=ke^ax
	a
y=ke^ax-	b	اي
	a

1.3.1 خاصية 2

حلول المعادلة التفاضلية y'=ay+b حيث a≠0 هي مجموعة الدوال y المعرفة بما يلي

y=ke^ax -	b	; k∈IR
	a

1.3.2 مثال

حلول المعادلة التفاضلية y'=3y+2 هي مجموعة الدوال y المعرفة بما يلي

y=ke^3x -	2	; k∈IR
	3

1.4 خاصية 3

a;b∈IR,a≠0
لكل عددين u و v يوجد حل وحيد للمعادلة التفاضلية y'=ay+b ويحقق الشرط التالي y(u)=v

تمرين:

حدد f حل للمعادلة (E): y'=2y+5 بحيث f(1)=-2

تصحيح

حلول المعادلة (E) هي مجموعة الدوال y التي تكتب على الشكل التالي

اذن y(1)=-2 حيث	y=ke^2x -	5	; k∈IR
		2

-2=ke² -	5	; k∈IR
	2
اي	ke²=-2+	5
		2
y=	1	e^2x-2
	5

تمرينن

حل المعادلة التفاضلية التالية
2y'+3y-4 = 0 حيث y(0)=3.

(1) المعادلات التفاضلية