2- المعادلة التفاضلية : y"+by'+cy= 0

2.1 تعريف

ليكن b و c عددين حقيقيين نعين ب y للدالة f وب y' للدالة المشتقة الاولى f' وب y" للدالة المشتقة الثانية
المعادلة التفاضلية من الرتبة 2 من مجهول واحد الدالة y هي معادلة تكتب على الشكل التالي y"+by'+cy=0.
lالمعادلة r²+br+c=0 هي المعادلة المميزة للمعادلة التفاضلية y"+by'+cy=0 مميزها هو العدد Δ=b²-4c

امثلة

1) y"+3y'+2y=0 هي معادلة تفاضلية من الرتبة 2
و r²+3r+2=0 معادلتها المميزة
2) المعادلة المميزة للمعادلة التفاضلية
y"-y'+3y=0 هي r²-r+3=0
3) المعادلة المميزة للمعادلة التفاضلية
y"+4y'+4y=0 هي r²+4r+4=0.

2.2 حلول المعادلة التفاضلية y"+by'+cy= 0

نعتبر المعادلة (E): y"+by'+cy=0 مجهولها y
Δ=b²-4c مميز المعادلة المميزة r²+br+c=0
اذا كانت Δ=0 فان حلول المعادلة (E) هي الدوال y المعرفة بما يلي
y=(k+k'x)e^rx حيث k;k'∈IR و r الحل المزدوج للمعادلة المميزة
اذا كانت Δ> 0 فان المعادلة المميزة تقبل حلين مختلفين r و r'
حلول المعادلة (E) هي الدوال y المعرفة كما يلي:
y=ke^rx+k'e^r'x حيث k;k'∈IR
اذا كانت Δ< 0 المعادلة المميزة تقبل حلين عقديين r=p+iq و r'=p'+iq'
حلول المعادلة (E) هي الدوال y المعرفة كما يلي:
y=(kcosqx+k'sinqx)e^pxحيث k;k'∈IR

2.3 حالات خاصة

الحل العام للمعادلة التفاضلية y"+w²y=0 هي الدوال التي تكتب على الشكل y=kcoswx + k'sinwx حيث k;k'∈IR
الحل العام للمعادلة التفاضلية y"-w²y=0 هي الدوال التي تكتب على الشكل y=ke^wx + k'e^wx حيث k;k'∈IR

تمرين

حل المعادلات التفاضلية التالية : y"-3y'+2y = 0 ; y"+4y'+4y = 0 ; y"+2y'+2y = 0 ; y"+6y = 0 ; y"-3y = 0 ; y" = 3y'+3

3- تطبيق فيزيائي

قانون الجمع ddp: U_G(t) = U_C(t) + U_R(t)
قانون اوم E= Ri(t)+U_C(t)

وبما ان q(t)= CU_C(t)

نحصل اذن على معادلة تفاضلية من الرتبة 1 U'=a.U + b,
اذن U= ke^at+E
عند اللحظة t=0 لدينا U(0)=0 اذن k=-E
وبالتالي: U_C(t)= E(1-e^(-1/RC).t)