Rappel
Soient a;b;c∈IR tel que a≠0
1) L'ensemble de solutions de l'équation différentielle
(E₁): y' = ay + b est l'ensemble des fonctions y définies par

y = keax -	b	(k∈IR)
	a

2) Pour tous réels u et v il existe une solution unique de l'équation différentielle
(E₁): y' = ay + b qui vérifie la condition y(u) = v

Exercice 1

1) Résoudre l'équations différentièlle suivantes
(E₁): y' = -4y
2) Déterminer la solution f de l'équation (E₁) tel que f(2)=-2

Correction

1) On a a≠0 donc les solutions de l'équations différentièlle (E₁) sont les fonctions y définies par
y = ke^-4x tel que k∈IR

2) La fonction f est la solution de l'équation (E₁) tel que f(2)=-2 donc
y(2) = -2 ⇔ -2 = ke^-4.2

⇔ k =	-2	= -2e8
	e-8

Ainsi f(x) = -2e⁸.e^-4x
Alors f(x) = -2e^{-4x + 8}

Exercice 2

1) Résoudre l'équations différentièlle suivantes
(E₁): y' = 2y + 5
2) Déterminer la solution f de l'équation (E₁) tel que f(1)=-2

Correction

1) On a a≠0 donc les solutions de l'équations différentièlle (E₁) sont les fonctions y définies par

y = ke2x -	5	tel que k∈IR
	2

2) La fonction f est la solution de l'équation (E₁) tel que f(1)=-2 donc

y(1) = -2 ⇔ -2 = ke2 -	5
	2

⇔ ke2 = -2 +	5	⇔ k =	1	e-2
	2		2

Ainsi f(x) =	1	e2x-2 -	5
	2		2

Exercice 3

1) Résoudre l'équations différentièlle suivantes
(E₁): (ln2)y' + (ln4)y + ln(8) = 0
2) Déterminer la solution f de l'équation (E₁) tel que f(1)=-2

Correction

1) (E₁) ⇔ (ln2)y' +(ln2²)y + ln2³ = 0
⇔ (ln2)y' + 2(ln2)y + 3ln(2) = 0
⇔ (ln2)(y' + 2y + 3) = 0
ln(2)≠0 donc (E₁) ⇔ y' + 2y + 3 = 0
⇔ y' = -2y - 3

a=-2≠0 donc les solutions de l'équations différentièlle (E₁) sont les fonctions y définies par

y = ke-2x -	-3	tel que k∈IR
	2

ou encore

y = ke-2x +	3	tel que k∈IR
	2

2) La fonction f est la solution de l'équation (E₁) tel que f(1)=-2 donc

y(1) = -2 ⇔ -2 = ke2 -	5
	2

⇔ ke2 = -2 +	5	⇔ k =	1	e-2
	2		2

Ainsi f(x) =	1	e2x-2 -	5
	2		2