Rappel
Soient a;b;c∈IR tel que a≠0
Soit (E): l'équation différentielle
y"+by'+cy=0
et r²+br+c=0 son équation caractéristique
Δ = b²-4c
Si Δ=0 alors l'équation caractéristique admet une solution double r
L'ensemble de solutions de l'équation(E) est l'ensemble des fonctions y définies par
y(x) = (k + k'x)e^rx tels que k; k'∈IR.

Si Δ > 0 alors l'équation caractéristique admet deux solutions r et r'
L'ensemble de solutions de l'équation(E) est l'ensemble des fonctions y définies par
y(x) = ke^rx + k'e^r'x tels que k; k'∈IR
Si Δ < 0 alors l'équation caractéristique admet deux solutions imaginaires r=p+iq et r'=p'+iq'
L'ensemble de solutions de l'équation(E) est l'ensemble des fonctions y définies par
y(x) = (kcosqx + k'sinqx)e^px tels que k; k'∈IR.

Exercice 1 tp

1) Résoudre l'équation différentièlle suivante
(E): y" + 10y' + 25y = 0
2) Déterminer la solution f de (E) qui vérifie les deux conditions, f(0)=0 et f'(0)=1.

Correction

1) Equation caractéristique de (E)
r² + 10r + 25 = 0
Δ = b²-4ac = 10²-4.25 = 0
Donc cette équation admet une solution double r=5

L'ensemble de solutions de l'équation(E) est l'ensemble des fonctions y définies par
y(x) = (k + k'x)e^5x tels que k; k'∈IR
2) La solution f de (E) qui vérifie les deux conditions, f(0)=0 et f '(0)=1
On a f(x) = (k + k'x)e^5x
Donc f(0) = 0 ⇔ ke⁰ = 0 ⇔ k=0
On a donc f(x) = k'xe^5x
f est dérivable sur IR . Soit x∈IR
f '(x) = k'e^5x + 5k'xe^5x donc f '(0)=1 ⇔ k'=1
Ainsi f(x) = xe^5x

Exercice 2 tp

1) Résoudre l'équation différentièlle suivante
(E): y" - 7y' + 10y = 0
2) Déterminer la solution f de (E) qui vérifie les deux conditions, f(0)=2 et f '(0)=1

Correction

1) Equation caractéristique de (E)
r² - 7r + 10 = 0
Δ = b²-4ac = 7²-4.10 = 9
Δ = 9 > 0 donc cette équation admet deux solutions différentes

r1 =	-b - √(Δ)		r2 =	-b + √(Δ)
	2a			2a
=	7 - √(9)		=	7 + √(9)
	2			2
=	4		=	10
	2			2
=	2		=	5

Donc r₁=2 et r₂=5
Ainsi l'ensemble de solutions de l'équation(E) est l'ensemble des fonctions y définies par
y(x) = ke^2x + k'e^5x tels que k; k'∈IR
2) La solution f de (E) qui vérifie les deux conditions, f(0)=2 et f '(0)=1
On a f(x) = ke^2x + k'e^5x
Donc f(0) = 0 ⇔ k + k' = 2 ⇔ k'=2-k
On a donc f(x) = ke^2x + (2-k)e^5x

f est dérivable sur IR . Soit x∈IR
f '(x) = 2ke^2x + 5(2-k)e^5x
donc f '(0)=1 ⇔ 2k + 5(2-k) = 1
⇔ -3k = 1 - 10 ⇔ k=3
On a donc k=3 et k'=2-k=2-3=-1
Ainsi f(x) = 3e^2x - e^5x

Exercice 3 tp

1) Résoudre l'équation différentièlle suivante:
(E): y' + 3y = 0
2) Déduire l'ensemble de solutions
de l'équation différentièlle y" = -3y'