1- قانون تركيب خارجي

1.1 تعريف

لتكن E و K مجموعتين غير فارغتين
نعني ب القانون التركيب الخارجي "LCE" في E ومعاملاته في K هو تطبيق

1.2 ترميز

الفانون التركيب الخارجي f سيرمز له ب نقطة .
اذن بدلا من f(a;x) نكتب a.x (او ax)
والمجموعة E المزودة ب LCE "." يرمز لها ب (E;.)

مثال 1

التطبيق من IR×V2 نحو V2, والمعرف ب :
(k;u^→)↦k.u^→ هو LCE في V2 معاملاته اعداد حقيقية

مثال 2

التطبيق من IR×V3 نحو V3, والمعرف ب
(k;u^→)↦k.u^→ هو LCE في V3 ومعاملاته اعداد حقيقية

مثال 3

لتكن P(IR;IR) مجموعة الحدوديات,
التطبيق من (IR×P) نحو P بحيث (a;p)↦a.p هو LCE

مثال 4

1) التطبيق من (IR×M2) نحو M2 بحيث (a;A)↦a.A هو LCE
2) التطبيق من (IR×M3) نحو M3 بحيث (a;A)↦a.A هو LCE

2- الفضاء المتجهي الحقيقي

2.1 تعريف

لتكن E مجموعة مزودة ب LCI + و ب LCE "." ومعاملاتها اعداد حقيقية
المثلوث (E;+;.) هو فضاء متجهي حقيقي اذا تحققت الشروط التالية
1) (E;+) زمرة تبادلية وعنصرها المحايد هو 0_E
2) ∀(x;y)∈E²; ∀(a;b)∈IR² ولدينا :
1.x=x
(a+b).x=a.x+b.x
a.(x+y)=a.x+a.y
(ab).x=a.(b.x)

امثلة

(ℂ;+;.); (M2;+;.); (M3;+;.); (V2;+;.); (V3;+;.) فضاءات متجهية حقيقية

2.2 قاعدة الحساب في فضاء متجهي حقيقي

2.2.1 خاصيات

ليكن (E;+;.) فضاء متجهي حقيقي
1) ∀x∈E:
0.x=0_E
(-1).x=-x
2) ∀(a;b)∈IR²:
(a-b).x=a.x-b.x ∧ a.(-b.x)=-ab.x
3) ∀a∈IR;∀(x;y)∈E²:
a.(x-y)=a.x-a.y

2.2.2 امثلة

∀u^→∈V2: 0.u^→=O^→
(-1).u^→=-u^→
(-2/3).u^→ =2(-1/3).u^→

3- فضاء متجهي حقيقي فرعي

3.1 تعريف

ليكن (E;+;.) فضاء متجهيا حقيقيا و F⊂E, نقول ان F فضاء متجهي فرعي ل E اذا تحققت الشروط التالية:
1) F≠∅ ,(0_E∈F)
2) ∀(x;y)∈F², x+y∈F
3) ∀a∈IR, ax∈F

امثلة

1) (IR;+;.) فضاء متجهي فرعي ل (ℂ;+;.)
2) المستقيم المتجهي F={au^→/ a∈IR} هو فضاء متجهي فرعي لمستوى

تمرين

لتكن F مجموعة معرفة ب F={(x;y;z)∈IR³ / x-y+z=0}
بين ان F فضاء متجهي فرعي ل IR³

تصحيح

1) (0;0,0)∈F لان 0-0+0=0 اذن F≠∅
2) ليكن (x;y;z);(x';y';z')∈F
لدينا (x;y;z)+(x';y';z') =(x+x';y+y';z+z') اذن
x+x'-(y-y') +z+z'= (x-y+z)+ (x'-y'+z') =0+0=0
ومنه فان (x;y;z)+(x';y';z') ∈F
3) ليكن (x;y;z)∈F و a∈IR, لدينا a.(x;y;z)=(ax;ay;az) اذن
ax-ay+az= a.(x-y+z)=a.0=0 ومنه فان a(x;y;z)∈F
وبالتالي فان F فضاء متجهي فرعي ل IR³

3.2 الخاصية المميزة لفضاء متجهي حقيقي

ليكن (E;+;.) فضاء متجهيا حقيقيا F⊂E
F فضاء متجهي حقيقي فرعي ل E يكافئ
0_E∈F و ∀(x;y)∈F², ∀(a;b)∈IR² : a.x+b.y∈F

4- تأليفة خطية لعائلة متجهات

4.1 تعريف

لتكن (x₁;x₂; ..; x_n) عائلة متجهات لفضاء متجهي حقيقي (E;+;.)
التأليفة الخطية لهذه المتجهات , كل متجهة x من E التي تكتب على الشكل التالي

بحيث a₁; a₂; .. ;a_n اعداد حقيقية

مثال 1

الحدودية من الدرجة الثانية p(x)=2+3x-5x² هي تأليف خطية لعائلة (1;x;x²) في الفضاء المتجهي الحقيقي للحدوديات درجتها ≤2, (P₂;+;.)

مثال 2

(IR²;+;.) فضاء متجهي حقيق
( (1;0);(0;1) ) هي عائلة لمتجهتين من (IR²;+;.)

∀(x;y)∈IR²; (x;y)=x.(1;0)+y(0;1) هو تأليفة خطية للمتجهتين (1;0) و (0;1)

مثال 3

(M2;+;.) فضاء متجهي حقيقي
المصفوفة التالية

هي تأليفة خطية ل

4.2 الارتباط الخطي

4.2.1 تعريف

ليكن (E;+;.) فضاء متجهي حقيقي
نقول ان المتجهات x₁;x₂; .. ;x_n من E مرتبطة خطية اذا كانت احدى متجهاتها تأليفة خطية للمتجهات الاخرى

وبتعبير آخر اذا وجد (a₁; a₂; .. ;a_n)∈IRⁿ ليست كلها منعدمة, بحيث
a₁.x₁ +a₂.x₂ + .. +a_n.x_n =0

4.2.2 تعريف

نقول ان عائلة مرتبطة هي عائلة متجهات مرتبطة خطية

4.3 الاستقلالية الخطية

4.3.1 تعريف

ليكن (E;+;.) فضاء متجهي حقيقي
نقول ان المتجهات x₁; x₂; ..; x_n من E مستقلة خطية اذا كان ∀ a₁;a₂; .. ; a_n∈IR
a₁.x₁ + a₂.x₂ + .. + a_n.x_n =0 ⇒
a₁ = a₂ = .. = a_n=0

4.3.2 تعريف

نعني ب عائلة حرة عائلة متجهات مستقلة خطية

4.3.3 مثال

العائلة (1;i) لمتجهتين من ℂ عائلة حرة
لان ∀(a;b)∈IR²: a.1+b.i=0⇒a=b=0