الفضاء المتجهي (2)
5 عائلة مولدة واساس فضاء متجهي
5.1 عائلة مولدة
5.1.1 تعريف
ليكن (E;+;.) فضاء متجهي حقيقي
نقول ان عائلة (x1;x2;...;xn) من متجهات E عائلة مولدة من E (او تولد E) اذا كان لكل متجهة x من E تكتب على شكل تأليفة خطية لهذه العائلة
بتعبير آخر :
∀x∈E, ∃(a1;a2;...;an)∈IRn:
| x= | n Σ i=1 | ai.xi |
5.1.2 مثال
∀p∈P(IR;IR), مجموعة الحدوديات من الدرجة ≤n,
∃(a1;a2 ;...; an)∈IRn
| p(x)= | n Σ i=0 | ai.xii |
اذن (1;x1;x2 ;..; xn) عائلة مولدة ل E.
5.2 اساس فضاء متجهي حقيقي
5.2.1 تعريف
ليكن (E;+;.) فضاء متجهي حقيقي
نقول ان عائلة (x1;x2;...;xn) من متجهات E اساسا ل E اذا كانت عائلة حرة ومولدة في آن واحد ل E.
5.2.2 امثلة
1) ثلاث متجهات غير مستوائية تحدد اساسا للفضاء
2) العائلة
(1;x;x²;...;xn) هي اساس لمجموعة الحدوديات من الدرجة ≤n .
3) ((1;0);(0;1)) اساس ل IR².
5.2.3 خاصية
ليكن (E;+;.) فضاء متجهيا حقيقيا و B=(x1;x2;...;xn) عائلة متجهات من E
B اساس ل E
يكافئ
| ∀x∈E, | ∃!(a1;a2 ;..; an)∈IRn |
| x= | n Σai.xi i=1 |
a1;a2;..; an احداتيات المتجهة x في الاساس B ونكتب x(a1;a2;...;an)
5.2.4 مثال
متجهتان غير مستقميتين i→ و j→ تحدد اساسا (i→;j→) في V2
اذن
∀u→∈V2, ∃!(a;b)∈IR²:
u→=a.i→+b.j→
ونكتب u→(a;b)
5.3 بعد فضاء متجهي حقيقي
5.3.1 تعاريف
ليكن (E;+;.) فضاء متجهيا حقيقيا حيث E≠{0}
اذا كان عدد متجهات عائلة مولدة ل E منته نقول ان بعدها منته ونرمز لبعدها ب dimE وهو رئيسي احد اساسها اي عدد متجهاته
5.3.2 مبرهنة
كل قضاء متجهي حقيقي بعده منته و ≠{0} يقبل اساسا بالاضافة الى ذلك كل اساساته لها نفس الرئيسي اي نفس عدد المتجهات
5.3.3 ملاحظة
اذا كان E={0} فان E بعده منته وبالاتفاق dimE=0
5.3.4 مبرهنة اساسية
ليكن (E;+;.) فضاء متجهي حقيقي بعده n
اذا كانت L=(x1;x2;...;xp) عائلة حرة في E
و G=(y1;y2;...;yq) عائلة مولدة في E
فانه يوجد اساس في E على الشكل
B =(x1;x2 ;..; xp;xp+1 ;..; xn)