Les espaces vectoriels (2)
Exercice 1 tp
Soit F un ensemble défini par
F={(x;y;z)∈IR³ / x-y+z=0}.
Montrer que F est un sous espace vectorirl de IR³.
Correction
1) (0;0,0)∈F car 0-0+0=0 donc F≠∅.
2) Soient (x;y;z); (x';y';z')∈F.
On a (x;y;z)+(x';y';z')=(x+x';y+y';z+z')
donc x+x'-(y-y')+z+z'=(x-y+z)+(x'-y'+z')=0+0=0
ainsi (x;y;z)+(x';y';z')∈F.
3) Soit (x;y;z)∈F et a∈IR.
a.(x;y;z)=(ax;ay;az)
donc ax-ay+az=a.(x-y+z)=a.0=0 et donc a(x;y;z)∈F
ainsi F est un sous espace vectoriel de IR³.
4.2.2 Propriété caractéristique d’un sous espace vectoriel réel
Soit (E;+;.) un espace vectoriel réel et F⊂E.
F est un sous espace vectoriel de E si et seulement si
0E∈F
et (∀(x;y)∈F²) (∀(a;b)∈IR²): a.x+b.y∈F.
4.3 Combinaison linéaire ; Base d'un espace vectoriel
4.3.1 Combinaison linéaire d'une famille de vecteurs
Définition
Soit (E;+;.) un espace vectoriel réel
On appelle combinaison linéaire d'une famille de vecteurs
(x1;x2; .. ; xn) de E, tout vecteur x de E qui s'écrit sous la forme
x=a1.x1 +a2.x2 + .. +a n.xn
avec a1; a2; .. ;an∈IR.
| On écrit x = | n Σai.xi i=1 |
Exemple 1
Le polynôme de degré 2
p(x)=2+3x-5x² est une combinaison linéaire de la famille (1;x;x²) dans l'espace vectoriel réel des polynômes de degré ≤2 (ℙ2;+;.).
Exemple 2
Soit (x ; y)∈IR².
(x;y)=x.(1;0)+y(0;1) donc (x;y) est une combinaison linéaire de la famille
((1;0);(0;1)) dans l'espace vectoriel réel (IR²;+;.).
Exemple 3
(M2x2;+;.) est un espace vectoriel réel.
| a | b | ||
| c | d |
| = a | 1 | 0 | + | b | 0 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| + | c | 0 | 0 | + | d | 0 | 0 | ||
| 1 | 0 | 0 | 1 |
La matrice suivante
| a | b | ||
| c | d |
est une combinaison linéaire des vecteurs
| 1 | 0 | ; | 0 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | ||||||
| ; | 0 | 0 | et | 0 | 0 | ||||
| 1 | 0 | 0 | 1 |
4.3.2 Dépendance linéaire et Indépendance linéaire
Définition
Soit (E;+;.) un espace vectoriel réel.
Si un des vecteurs x1;x2; .. ;xn de E est combinaison linéaire des autres alors ces vecteurs sont linéairement dépendants
ou encore s'il existe un n-uplet
(a1; a2; .. ;an) ∈IRn non tous nuls
a1.x1 +a2.x2 + .. +an.xn=0.
Définition une famille de vecteurs qui sont linéairement dépendants est appelée famille liée.
Définition
Soit (E;+;.) un espace vectoriel réel.
On dit que les vecteurs x1; x2; ..; xn de E sont linéairement indépendants
si (∀a1;a2; .. ; an)∈IR
a1.x1 + a2.x2 + .. + an.xn=0 ⇒
a1=a2= .. =an=0.
Définition une famille de vecteurs linéairement indépendants est appelée famille libre.
Exemple ∀(a;b)∈IR²: a.1+b.i=0 ⇒ a=b=0 Donc la famille (1 ; i) est libre dans ℂ.