Les espaces vectoriels (3)
4.3.3 Famille génératrice
Définition
Soit (E;+;.) un espace vectoriel réel.
On dit qu'une famille (x1;x2;...;xn) de vecteurs de E génératrice de E (ou engendre E) si tout vecteur x de E s'écrit sous forme d'une combinaison linéaire de cette famille.
En d'autre terme
(∀x∈E) ∃(a1;a2;...;an)∈IRn
| x = | n Σ i=1 | ai.xi |
Exemple
(∀p∈P(IR;IR)) l'ensemble des polynomes de degré ≤n
∃(a1;a2 ;...; an)∈IRn
| p(x) = | n Σ i=0 | ai.xii |
et donc (1;x1;x2 ;..; xn) est une famille génératrice de E.
4.3.4 Base d’un espace vectoriel réel
Définition
Soit (E;+;.) un espace vectoriel réel.
On dit qu'une famille (x1;x2;...;xn) de vecteurs de E est une base de E si elle est à la foi une famille libre et génératrice de E.
Exemples
1) La famille (1;x;x²;...;xn) est une base de l'ensemble des polynomes Pn de degré ≤n
2) ((1;0) ; (0;1)) est une base de l' e.v IR².
4.3.5 Propriété
Soient (E ; + ; .) un espace vectoriel réel
et B=(x1;x2;...;xn) une famille de vecteurs de E.
B est une base de E
⇔ (∀x∈E)( ∃!(a1;a2 ;...; an)∈IRn)
| x = | n Σai.xi i=1 |
a1;a2;...;an sont appelés coordonnées du vecteur x dans la base B
et on écrit x(a1 ; a2 ;..; an).
Exemples
1) Deux vecteurs i→ et j→ non colinéaires dans V2 constituent une base (i→;j→)
et donc (∀u→∈V2) (∃!(a;b)∈IR²):
u→=a.i→+b.j→ ainsi u→(a;b).
2) Trois vecteurs i→; j→ et k→ non coplanaires dans V3 constituent une base (i→;j →;k→)
et donc (∀u→∈V3) (∃!(a ; b ; c)∈IR³):
u→=a.i→+b.j→+ck→
ainsi u→(a;b;c).
4.4 Dimension d’un espace vectoriel réel
4.4.1 Définition
Soit (E;+;.) un espace vectoriel réel tel que E≠{0}.
On dit que E est de dimension finie si le nombre de vecteurs d'une famille génératrice de E est fini.
La dimension de E, notée dimE est le cardinal de l'une de ses bases.
Exemples
L'ensemble 𝕄2x2 des matrices carrées d'ordre 2 est de dimension 2x2 (2 lignes et 2 colonnes).
L'ensemble 𝕄3x3 des matrices carrées d'ordre 3 est de dimension 3x3 (3 lignes et 3 colonnes).
4.4.2 Théorème
Tout espace vectoriel réel de dimension finie ≠{0} admet une base.
De plus toutes ses bases ont le même cardinal.
Remarque Si E={0} alors E est de dimension finie et par convention dimE=0.
4.4.3 Théorème fondamental (Théorème de la base incomplète)
Soit (E;+;.) un espace vectoriel réel de dimension n.
Si L=(x1;x2;...;xp) une famille libre dans E
et G=(y1;y2;...;yq) une famille génératrice dans E
alors il existe une base de E de la forme
B=(x1;x2 ;..; xp;xp+1 ;..; xn).