1- الدالة الاسية النبيرية

1.1 تذكير وتعريف

1.1.1 مبرهنة القيمة الوسيطة :

لتكن f دالة متصلة ورتيبة قطعا على مجال I=[a;b] حيث a و b عددين حقيقيين و a < b
لكل عدد حقيقي k محصور بين f(a) و f(b) المعادلة f(x)=k تقبل حلا وحيدا على I.

1.1.2 دالة اللوغاريتم النبيري ln

دالة اللوغاريتم النبيري ln هي الدالة الاصلية للدالة

على IR*+ وتنعدم في 1 .
الدالة ln متصلة وتزايدية قطعا على IR*+
اذن الدالة ln تقبل دالة عكسية معرفة من IR نحو IR*+.

1.1.3 تعريف

الدالة العكسية للدالة ln تسمى الدالة الاسية ويرمز لها ب exp ومعرفة من IR نحو IR*+
بتعبير آخر
∀x∈IR: exp(x)=ln^-1(x)
exp(x)=y, x∈IR ⇔ x=ln(y), y>0

1.1.3 مثال

exp(-2)=y, y>0 ⇔ lny=-2
exp(1)=y, y>0 ⇔lny=1, y=e

1.1.4 نتائج

1) ∀x∈IR, exp(x)>0
2) الدالة exp تزايدية قطعا على IR
3) e^x=e^y ⇔ x=y
4) e^x < e ^x ⇔ x < y

1.1.5 الكتابة e^x

لدينا ∀ r∈Q : lne^r=r
اذن e^r=exp(r)
ونعمم ذلك ∀x∈IR: exp(x)=e^x

تمرين 1

حل في IR المعادلات التالية :
1) e^x=5
2) e^x=-3
3) (e^x)²-5e^x+4=0

تصحيح

1) المعادلة e^x=5 معرفة في IR
ونعلم ان e^x=5 ⇔ x=ln5
اذن S={ln5}

2) المعادلة e^x=-3 مستحيلة لان لكل x∈IR لدينا e^x>0 ولدينا 3- سالب اذن S=∅

3) المعادلة (e^x)²-5e^x+4=0 معرفة في IR
ونلاحظ انها معادلة من الدرجة الثانية وذلك بوضع e^x=X
X²-5X+4=0
Δ=b²-4ac=(-5)²-4.4 =9 > 0
اذن هذه المعادلة تقبل حلين مختلفين

اذن X1=1 و X2=4
المطلوب تحديد الحرف الصغير x
نعلم ان X=e^x
الحالة الاولى
X1=1⇔e^x1=1
⇔x1=ln1=0 الحالة الثانية :
X2=4⇔e^x2=4
⇔x2=ln4
اذن S={0;ln4}

تمرين 2

حل في IR المتراجحات التالية
1) e^x< 1
2) e^x≥3
3) (e^x)²-3e^x-4 ≥0

تصحيح

1) المتراجحة e^x< 1 معرفة على IR
e^x< 1 ⇔ ln(e^x) < ln1
⇔ x< 0 ⇔x∈]-∅;0[
S=]-∅;0[

2) المتراجحة e^x≥3 معرفة على IR
e^x≥3 ⇔ ln(e^x) ≥ ln3
⇔ x≥ln3 ⇔x∈[ln3;+∞[
S=[ln3;∞[

3) المتراجحة (e^x)²-3e^x-4 ≥0 معرفة على IR
نضع X=e^x>0 ونحصل على المتراجحة X²-3X-4≥0
اولا نحل المعادلة X²-3X-4=0 حيث ْX>0
Δ=(-3)²-4.(-4)=9+16=25>0
بنفس الطريقة كالتمرين السابق نجد
X1=-1 لا يمكن و X2=4

ندرس الآن اشارة X²-3X-4 في ]0;+∞[

X²-3X-4≥0⇔X∈[4;+∞[
وبما ان X=e^x فان
X≥4⇔e^x≥4
⇔x≥ln4e
S=[ln4;+∞[
طريقة ثانية:
X²-3X-4=(X+1)(X-4)=(e^x+1)(e^x-4)
لدينا e^x+1>0 اذن يكفي دراسة اشارة e^x-4ومنه فان
e^x-4≥0⇔e^x≥4
⇔x≥ln4
S=[ln4;+∞[

تمرين 3

حل النظمة التالية :

تصحيح

نضع X=e^x >0 ; Y=e^y >0
النظمة تصبح اذن

يمكن استعمال اي طريق لحل النظمة ,سنستعمل مثلا طريقة التآلفية الخطية
2(2X-3Y-1)+3(5X+2Y-12)=0⇔19X=38⇔X=2
-5(2X-3Y-1)+2(5X+2Y-12)=0⇔19Y=19⇔Y=1
ومنه فان
X=2⇔e^x2⇔x=ln2
Y=1⇔e^y1⇔y=ln1=0
وبالتالي S={(ln2 ; 0)}

1.2 خاصيات جبرية

تمرين

حل في IR المعادلة :
e^x+2e^-x-3=0

1.3 دراسة الدالة exp

1.3.1 مجموعة تعريف الدالة exp

exp معرفة من IR نحو IR*+ بتكوينها اذن
Dexp =IR

1.3.2 النهايات والفروع اللانهائية

lim_+∞e^x = +∞
lim_-∞ e^x = 0
اذن محور الافاصيل هو مقارب للمنحنى (C) بجوار -∞

اذن المنحنى (C) يقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور الاراتيب

1.3.2 مشتقة الدالة exp

لدينا ∀x∈IR: e^x> 0
الدالة exp قابلة للاشتقاق على IR و (e^x)'= e^x

برهان :

لدينا : ∀x∈IR, (e^x)'=(ln^-1)'(x)

اذن (e^x)' = e^x
ومنه فان exp تزايدية قطعا على IR

1.3.4 المنحنى

منحنى الدالة exp مماثل لمنحنى الدالة ln بالنسبة للمنصف الاول للمعلم اي المستقيم (D): y=x

1.3.5 نهايات اعتيادية