1.4 مشتقة الدالة f:→e^u(x)

1.4.1 مجموعة تعريف الدالة f

D={ x∈IR/ x∈Du }
حيث Du هي مجموعة تعريف الدالة u

1.4.2 خاصية 1

لتكن f مركب الدالتين exp و الدالة u اي f=expou
اذا كانت الدالة u متصلة على مجال I فان الدالة f= expou متصلة على I

1.4.3 خاصية 2

اذا كانت الدالة u قابلة للاشتقاق على مجال I فان الدالة f=expou قابلة للاشتقاق على I ولدينا :
∀x∈I: f'(x)=u'(x).e^u(x)

برهان

ليكن x∈I لدينا (e^u(x))'=exp'(u(x)).u'(x)
=(exp(u(x))).u'(x)=u'(x).e^u(x)

تمرين 1:

f(x)= e^x²+x
ادرس قابلية الاشتقاق للدالة f على IR

تصحيح

lالدالة x→x²+x قابلة للاشتقاق على IR اذن f قابلة للاشتقاق على IR
ولدينا f'(x)=(2x+1)e^x²+x

تمرين 2:

g(x)= e^√(2x+1)
ادرس قابلية الاشتقاق للدالة g على Dg

تصحيح

Dg=[-0,5 ;+∞[
الدالة x→√(2x+1) قابلة للاشتقاق على ]-0,5 ;+∞[
اذن g قابلة للاشتقاق على ]-0,5 ;+∞[
ولدينا : g'(x)=(√(2x+1))'g(x) اذن

اذن g'(x)=	2	g(x)
	2√(2x+1)
g'(x)=	1	e√(2x+1)
	√(2x+1)

1.5 الدوال الاصلية للدالة h: x→u'(x)e^u(x)

1.5.1 تذكير

اذا كانت u قابلة للاشتقاق على مجال I فان الدالة f المعرفة ب : f(x)=e^u(x) قابلة للاشتقاق على I ولدينا
∀x∈I, f'(x)=u'(x).e^u(x)

1.5.2 خاصية

لتكن u دالة قابلة للاشتقاق على مجال I و h دالة معرفة كما يلي :
h(x)=u'(x)e^u(x)
الدوال الاصلية للدالة h هي الدوال x→e^u(x)+k حيث k∈IR

1.5.3 مثال

حدد الدوال الاصلية للدالة f المعرفة كما يلي
f(x)=(2x+1)e^x²+x+2

تصحيح

الدالة x→x²+x+2 قابلة للاشتقاق على IR
نلاحظ ان (x²+x+2)'=2x+1 اذن الدوال الاصلية للدالة f هي الدوال : x→e^x²+x+2+k حيث k∈IR

تمرين 1

لتكن g دالة معرفة بما يلي :

g(x)=	1	e3/x
	x²

تصحيح

الدالة x→3/x قابلة للاشتقاق على IR* ولدينا

(	3	)'=	-3
	x		x²

اذن الدوال الاصلية للدالة g هي الدوال

x→	-1	e3/x +k, k∈IR
	3

تمرين 2

احسب النهايات التالية
1) lim(_+∞) x-e^x
2) lim(_+∞) e^2x-e^x
3) lim(_+∞) e^x-lnx

تصحيح

1) lim(_+∞) x-e^x
+∞-∞ شكل غير محدد اذن التعويض المباشر غير ممكن ومنه يجب البحث عن طريقة اخرى

lim(+∞) x-ex=lim(+∞) x(1-	ex	)
	x

lim(+∞)	ex	= +∞ نعلم ان
	x

اي

lim(+∞)1-	ex	= -∞
	x
lim(+∞)x(1-	ex	)= +∞(-∞)= -∞
	x

وبالتالي lim(_+∞) x-e^x= -∞

2) lim(_+∞) e^2x-e^x
نعلم ان e^2x=(e^x)² اذن
lim(_+∞) e^2x-e^x =lim(_+∞) e^x(e^x-1)
وبما ان lim(_+∞)e^x= +∞
فان lim(_+∞) e^2x-e^x= +∞(+∞-1)=+∞
3) lim(_+∞) e^x-lnx
التعويض المباشر

+∞-∞ شكل غير محدد ولكن يمكن ان نعمل ب x لانه يخالف 0 كونه يؤول الى +∞

ex-lnx= x(	ex	-	lnx	)
	x		x

نعلم ان

lim(+∞)	ex	=+∞	lim(+∞)	lnx	=0
	x			x

اذن lim(_+∞) e^x-lnx =+∞(+∞-0)= +∞

تمرين 3

lim(+∞)	1-ex	; lim(+∞)	x-ex
	x		ex

تمرين 4

احسب النهاية التالية
lim(₀₊) xln(e^2x-e^x)

تصحيح

xln(e^2x-e^x) =xln(e^x(e^x-1))
=x²+xln(e^x-1)
lim(₀₊) xln(e^2x-e^x)= lim(₀₊)x²+lim(₀₊) xln(e^x-1)
=lim(₀₊) xln(e^x-1)
نضع
e^x-1=t⇒x=ln(1+t); t→0
lim(₀₊) xln(e^x-1)=lim(₀₊) ln(1+t)ln(t)

lim(0+)	ln(t+1)	t.ln(t) = 1×0=0
	t

اذن lim(₀₊) xln(e^2x-e^x)=0.