2- الدالة الاسية للاساس a:

2.1 تعاريف وخاصيات

2.1.1 تعريف 1

ليكن a∈Q*+ \{-1}
الدالة الاسية للاساس a ويرمز لها ب exp_a هي الدالة العكسية لدالة اللوغاريتم للاساس a
لدينا اذن
exp_a(x)=y ,x∈IR ⇔ x=log_a(y), y>0

2.1.2 امثلة:

1) exp₂(5)=y ⇔ 5=log₂(y), y>0
2) exp₃(0)=1 ⇔ 0=log₃(1)
3) exp_(4/5)(13)=y ⇔ 13=log_(4/5)(y), y>0

2.1.3 تعريف 2

الدالة الاسية للاساس a حيث a∈Q*+ \{-1}, هي الدالة التي تربط كل عدد حقيقي x بالعدد a^x ومعرف كما يلي : a^x=e^xlna
اذن exp_a(x)= a^x= e^xlna

2.1.4 امثلة

1) exp₄(7)= 4⁷= e^7ln4
2) exp₁₇(25)= 17²⁵= e^25ln17

2.2 خاصيات جبرية

2.2.1 خاصيات

ليكن x; y عددين حقيقيين و r∈Q
a^x+y= a^x.a^y
(a^x)^r=a^rx
a^x=a^y ⇔ x=y

تمرين 1

حل في IR المعادلات التالية :
1) 10^x=100
2) 2^2x+3=4^{1-5x
3) 32x-7.3x+12=0}

تمرين 2

حل في IR² النظمة التالية

2.3 مشتقة الدالة f: x→a^x

الدالة exp_a قابلة للاشتقاق على IR حيث a∈Q*+\{-1}
ليكن x عددا حقيقيا
لدينا : a^x=e^xlna
(a^x)'= (e^xlna )' = (lna).e^xlna
اذن (a^x)' = a^x.lna

2.3.1 خاصية 1

a∈Q*+\{-1}
الدالة x→a^x قابلة للاشتقاق على IR,
و ∀x∈IR, (a^x)'=a^x.lna

2.3.2 خاصيات

ليكن a∈Q*+\{-1}
لدينا lna > 0 اذا كان a>1
و lna < 0 اذا كان 0 < a < 1
1) اذا كان a>1 فان الدالة exp_a تزايدية قطعا على IR ولدينا :
a^x< a^y ⇔ x < y
2) اذا كان 0< a < 1 فان الدالة exp_a تناقصية قطعا على IR ولدينا :
a^x < a^y ⇔ x > y

تمرين 1

حل في IR المتراجحات التالية :
1) 2^3x < 2^x+1
2) (0,5)^x²≥(0,5)^5x-4
3) (3^x-9)(3^x-2)> 0

تمرين 2

احسب النهايات التالية
1) lim_+∞5^2x-5^x
2) lim_+∞10^x-2^x
3) lim₁₊2^x-1