2- Exponentielle de base a

2.1 Définitions et propriétés

2.1.1 définition 1

Soit a∈ℚ^+*\{1}. La fonction réciproque de la fonction logarithme de base a est appelée fonction exponentielle de base a et est notée exp_a
et (exp_a(x)=y avec x∈IR) ⇔ (x=log_a(y) avec y>0).

Exemple exp₂(5)=y ⇔ 5=log₂(y) avec y>0.

2.1.2 définition 2

Soit a∈ℚ^+*\ {1}
La fonction exponentielle de base a est une fonction qui associe chaque nombre réel x avec le nombre réel a^x définie par a^x=e^xlna.
En d'autre terme
(∀x∈IR): exp_a(x)=a^x=e^xlna.

Exemples
1) exp₄(7) = 4⁷ = e^7ln4.
2) exp₅(-2) = 5^-2 = e^-2ln5.

2.2 Propriétés algébrique

2.2.1 Propriétés

Soit x; y∈IR et r∈ℚ.
a^x+y = a^x.a^y.
(a^x)^r = a^rx.
a^x = a^y ⇔ x=y.

Exemple 1
Résoudre dans IR l'équation suivante
(E): 10^x = 100.

Correction
L'équation (E) est définie sur IR. Soit x∈IR
10^x=100 ⇔ 10^x=10²
⇔ x=2
ainsi S = { 2 }.

Exemple 2
Résoudre dans IR l'équation suivante
(E): 3^{x - 7} = 9^5x+1.

Correction
L'équation (E) est définie sur IR. Soit x ∈IR
3^x = 27^{5x+1 ⇔ 3x = (3²)5x+1
⇔ 3x-7 = 32(5x+1) ⇔ x - 7 = 10x + 2
⇔ -9x = 9 ⇔ x = -1
ainsi S = { -1 }.}

2.3 Dérivée de f: x→a^x

Soit a∈ℚ^+*\{1}.
La fonction exp_a est dérivable sur IR. Soit x∈IR
(a^x)'= (e^xlna)' = (lna).e^xlna
donc (∀x∈IR): (a^x)' = a^x.lna.

2.3.1 Propriété 1

Soit a∈ℚ^+*\{1}. La fonction x→a^x est dérivable sur IR
et (∀x∈IR): (a^x)'=a^x.ln(a).

Exemple
(∀x∈IR): (7^x)' = 7^x.ln(7).

2.3.2 Propriétés 2

Rappel Soit x∈]0 ; +∞[
ln(x) > 0 si x > 1
ln(x) < 0 si 0 < x < 1

Propriétés
Soit a∈ℚ^+*\{1}.
1) Si a>1 alors la fonction exp_a est strictement croissante sur IR
et a^x<a^y ⇔ x<y.

2) Si 0<a<1 alors la fonction exp_a est strictement décroissante sur IR
et a^x<a^y ⇔ x>y.

Propriétés
Soit a∈ℚ^+*\{1}.
Si une fonction u est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f définie par f(x)=a^u(x) est dérivable sur I
et (∀x∈I): f'(x) = u'(x)a^u(x).ln(a).