Mathématiques du secondaire qualifiant

Fonctions Exponentielles (1)

Rappel
1) Théorème des valeurs intérmidiares Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I=[a;b], a et b sont deux réels tel que a < b
pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique dans I

2) Fontion ln La fonction logarithme népérien ln est une fonction primitive de la fonction

x→1
x

sur IR+* et qui s'annule en 1..
3) Fonction exponentielle La fonction exponentielle exp est la fonction réciproque de la fonction ln

En d'autre terme
(∀x∈IR): exp(x) = ln-1(x)
exp(x)=y, x∈IR ⇔ x=ln(y), y>0

4) ex = ey ⇔ x = y
5) ex < e x ⇔ x < y

Exercice 1 tp

Résoudre dans IR l'équation suivante
(E): ex = 5

Correction

L'équation (E) est définie sur IR . Soit x∈IR
ex = 5 ⇔ x = ln5
Donc S = { ln5 }

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR l'équation suivante
(E) ex = -3

Correction

L'équation (E) n'a pas de solution
car (∀x∈IR) on a ex > 0
et -3 < 0 donc S = ∅

Exercice 3 tp

Résoudre dans IR l'équation suivante
(E) (ex)² - 5ex + 4 = 0

Correction

3) L'équation (E) est définie sur IR . Soit x∈IR
On pose ex = X
L'équation devient une équation du second degré
X² - 5X + 4 = 0 (*)
Δ = b²-4ac=(-5)²-4.4 = 9 > 0

Donc l'équation (*) admet deux solutions différentes

X1 = - b - √Δ X2=- b + √Δ
2a2a
= -(-5)-√9 = -(-5)+√9
2.12.1
= 5-3 = 5+3
22
X1 = 2 X2 = 8
22

Donc X1=1 et X2=4
On a X = ex
X1=1 ⇔ ex1=1
⇔ x1 = ln1 = 0
X2 = 4 ⇔ ex2 = 4
⇔ x2 = ln4
ainsi S = {0;ln4}.