Rappel
1) Théorème des valeurs intérmidiares Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I=[a;b], a et b sont deux réels tel que a < b
pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x)=k admet une solution unique dans I

2) Fontion ln La fonction logarithme népérien ln est une fonction primitive de la fonction

sur IR^+* et qui s'annule en 1..
3) Fonction exponentielle La fonction exponentielle exp est la fonction réciproque de la fonction ln

En d'autre terme
(∀x∈IR): exp(x) = ln^-1(x)
exp(x)=y, x∈IR ⇔ x=ln(y), y>0

4) e^x = e^y ⇔ x = y
5) e^x < e ^x ⇔ x < y

Exercice 1 tp

Résoudre dans IR l'équation suivante
(E): e^x = 5

Correction

L'équation (E) est définie sur IR . Soit x∈IR
e^x = 5 ⇔ x = ln5
Donc S = { ln5 }

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR l'équation suivante
(E) e^x = -3

Correction

L'équation (E) n'a pas de solution
car (∀x∈IR) on a e^x > 0
et -3 < 0 donc S = ∅

Exercice 3 tp

Résoudre dans IR l'équation suivante
(E) (e^x)² - 5e^x + 4 = 0

Correction

3) L'équation (E) est définie sur IR . Soit x∈IR
On pose e^x = X
L'équation devient une équation du second degré
X² - 5X + 4 = 0 (*)
Δ = b²-4ac=(-5)²-4.4 = 9 > 0

Donc l'équation (*) admet deux solutions différentes

Donc X₁=1 et X₂=4
On a X = e^x
X₁=1 ⇔ e^x1=1
⇔ x₁ = ln1 = 0
X₂ = 4 ⇔ e^x₂ = 4
⇔ x₂ = ln4
ainsi S = {0;ln4}.