Mathématiques du secondaire qualifiant

Fonctions Exponentielles (2)

Exercice 1 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
(I): ex < 1

Correction

1) L'inéquation (I) est définie sur IR . Soit x∈IR
ex < 1 ⇔ ln(ex) < ln1
⇔ x < 0 ⇔ x∈]-∞;0[
Ainsi S = ]-∞ ; 0[.

Exercice 2 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
(I): ex ≥ 3

Correction

1) L'inéquation (I) est définie sur IR . Soit x∈IR
ex ≥ 3 ⇔ ln(ex) ≥ ln3
⇔ x ≥ ln3 ⇔ x∈[ln3 ; +∞[
Ainsi S = [ln3 ; ∞[

Exercice 3 tp

Résoudre dans IR l'inéquation suivante
(I): (ex)² - 2ex ≥ 0

Correction

L'inéquation (I) est définie sur IR . Soit x∈IR
On pose X = ex
on a donc X > 0
Ou encore X∈J=]0 ; +∞[
L'inéquation (I) devient X²-2X ≥ 0 (*)

D'abord on résout l'équation X²-2X=0 dans J
X²-2X=0 ⇔ X(X-2)=0 ⇔ X = 0 ou X = 2
X = 0 ce n'est pas possible car X > 0
donc X=2
Puis on étudie le signe du trinôme T(X) = X²-2X
T(X) est de signe de X-2 dans J

X 02 +∞
X²-2X||-0+

X²-2X ≥ 0 ⇔ X∈[2 ; +∞[

Puisque X = ex alors
X ≥ 2 ⇔ ex ≥ 2
⇔ x ≥ ln2
⇔ x∈[ln2 ; +∞[
Ainsi S = [ln2 ; +∞[

Exercice 4 tp

Résoudre dans IR les inéquations suivantes

(I1): ex - 1 ≥ 0
ex - 2
(I2): ex - 1 ≤ 2
ex - 2
Correction

1) L'inéquation (I1) est définie si ex - 2 ≠ 0
ex - 2 = 0 ⇔ ex = 2 ⇔ x = ln2

Donc D = IR\{ ln2 } . Soit x∈D on étudie le signe du quotient de ex - 1 sur ex - 2

x -∞ 0 ln2 +∞
ex - 1 - 0+ |+
ex - 2 - |- 0+
ex - 1 + 0- ||+
ex - 2

Ainsi S1 = ] -∞ ; 0 ]∪] ln2 ; +∞ [

2) L'inéquation (I2) est également définie sur D . Soit x∈D

(I2) ⇔ ex - 1 - 2 ≤ 0 ⇔ - ex - 5 ≤ 0
ex - 2ex - 2

∀x∈D: - ex - 5 < 0
Donc (I2) ⇔ ex - 2 > 0 ⇔ ex > 2
⇔ x > ln2 ⇔ x∈] ln2 ; +∞[
ainsi S2 = ] ln2 ; +∞ [.